【題目】某班級舉行一次知識競賽活動,活動分為初賽和決賽兩個階段、現(xiàn)將初賽答卷成績(得分均為整數(shù),滿分為100分)進行統(tǒng)計,制成如下頻率分布表.

分數(shù)(分數(shù)段)

頻數(shù)(人數(shù))

頻率

[60,70)

0.16

[70,80)

22

[80,90)

14

0.28

[90,100)

合計

50

1


(1)填充頻率分布表中的空格(在解答中直接寫出對應空格序號的答案);
(2)決賽規(guī)則如下:參加決賽的每位同學依次口答4道小題,答對2道題就終止答題,并獲得一等獎.如果前三道題都答錯,就不再答第四題.某同學進入決賽,每道題答對的概率P的值恰好與頻率分布表中不少于80分的頻率的值相同. ①求該同學恰好答滿4道題而獲得一等獎的概率;
②記該同學決賽中答題個數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.

【答案】
(1)解:根據(jù)樣本容量,頻率和頻數(shù)之間的關系得到①0.16×50=8② =0.44

③50﹣8﹣22﹣14=6④ =0.12


(2)解:由(1)得,p=0.4,

①該同學恰好答滿4道題而獲得一等獎,即前3道題中剛好答對1道,

第4道也能夠答對才獲得一等獎,

則有C31×0.4×0.62×0.4=0.1728.

②答對2道題就終止答題,并獲得一等獎,

∴該同學答題個數(shù)為2、3、4.

即X=2、3、4,

P(X=2)=0.42=0.16,

P(X=3)=C210.4×0.6×0.4+0.63=0.408,

P(X=4)=C310.4×0.62=0.432,

∴分布列為:

∴EX=2×0.16+3×0.408+4×0.432=3.272


【解析】(1)根據(jù)樣本容量,頻率和頻數(shù)之間的關系得到要求的幾個數(shù)據(jù),注意第三個數(shù)據(jù)是用樣本容量減去其他三個數(shù)得到.(2)①該同學恰好答滿4道題而獲得一等獎,即前3道題中剛好答對1道,第4道也能夠答對才獲得一等獎,根據(jù)相互獨立事件的概率公式得到結果.②答對2道題就終止答題,并獲得一等獎,所以該同學答題個數(shù)為2、3、4.即X=2、3、4,結合變量對應的概率,寫出分布列和期望.

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