【題目】如圖,已知橢圓的右焦點(diǎn)F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),點(diǎn)M在第一象限的交點(diǎn),且

(Ⅰ)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若,過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l相交于A,B兩點(diǎn),已知,求取得最大值時(shí)直線(xiàn)l的方程.

【答案】(Ⅰ); (Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),過(guò)M的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為N,拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為,根據(jù)焦半徑公式可知,再根據(jù)橢圓定義可知,結(jié)合直角和勾股定理,得,所以點(diǎn),代入拋物線(xiàn)方程得,建立方程求解;(Ⅱ)由(Ⅰ)和條件得到拋物線(xiàn),設(shè)直線(xiàn)l的方程為,與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立,得到根與系數(shù)的關(guān)系,,再代入的坐標(biāo)表示,得到,利用二次函數(shù)求最值,并得到直線(xiàn)方程.

(Ⅰ)設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,

橢圓的方程為,半焦距為c

由已知得點(diǎn),則

設(shè)點(diǎn),過(guò)M的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為N,拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為,

由拋物線(xiàn)的定義,得,則

根據(jù)橢圓定義,得,

又因?yàn)?/span>,所以

所以點(diǎn),代入拋物線(xiàn)方程得,

從而,解得

拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(Ⅱ)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為這時(shí),

滿(mǎn)足的只有拋物線(xiàn),

設(shè)點(diǎn),,

由題意知直線(xiàn)l的斜率不等于0,且過(guò)點(diǎn),所以設(shè)直線(xiàn)l的方程為,

,得,

恒成立,

由韋達(dá)定理得,

,

當(dāng)時(shí),取最大值為

此時(shí)直線(xiàn)l的方程為

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)求拋物線(xiàn)的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程,并求出點(diǎn)的坐標(biāo);

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