【題目】如圖,已知橢圓的右焦點(diǎn)F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),點(diǎn)M為和在第一象限的交點(diǎn),且.
(Ⅰ)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若,過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與相交于A,B兩點(diǎn),已知,求取得最大值時(shí)直線(xiàn)l的方程.
【答案】(Ⅰ)或; (Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),過(guò)M作的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為N,拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為,根據(jù)焦半徑公式可知,再根據(jù)橢圓定義可知,結(jié)合直角和勾股定理,得,所以點(diǎn),代入拋物線(xiàn)方程得,建立方程求解;(Ⅱ)由(Ⅰ)和條件得到拋物線(xiàn),設(shè)直線(xiàn)l的方程為,與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立,得到根與系數(shù)的關(guān)系,,再代入的坐標(biāo)表示,得到,利用二次函數(shù)求最值,并得到直線(xiàn)方程.
(Ⅰ)設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
橢圓的方程為,半焦距為c.
由已知得點(diǎn),則.
設(shè)點(diǎn),過(guò)M作的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為N,拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為,
由拋物線(xiàn)的定義,得,則.
根據(jù)橢圓定義,得,,
又因?yàn)?/span>,所以.
所以點(diǎn),代入拋物線(xiàn)方程得,
從而,解得或.
拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.
(Ⅱ)拋物線(xiàn)和的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和這時(shí)或,
滿(mǎn)足的只有拋物線(xiàn),
設(shè)點(diǎn),,
由題意知直線(xiàn)l的斜率不等于0,且過(guò)點(diǎn),所以設(shè)直線(xiàn)l的方程為,
由,得,
恒成立,
由韋達(dá)定理得,,
,
當(dāng)時(shí),取最大值為,
此時(shí)直線(xiàn)l的方程為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】足球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)古老的體育活動(dòng),眾多的資料表明,中國(guó)古代足球的出現(xiàn)比歐洲早,歷史更為悠久,如圖,現(xiàn)代比賽用足球是由正五邊形與正六邊形構(gòu)成的共32個(gè)面的多面體,著名數(shù)學(xué)家歐拉證明了凸多面體的面數(shù)(F),頂點(diǎn)數(shù)(V),棱數(shù)(E)滿(mǎn)足F+V-E=2,那么,足球有______.個(gè)正六邊形的面,若正六邊形的邊長(zhǎng)為,則足球的直徑為______.cm(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+4[sin(θ+)]x﹣2,θ∈[0,2π].
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),求tanθ的值;
(Ⅱ)若f(x)在[﹣,1]上是單調(diào)函數(shù),求θ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn),拋物線(xiàn)在處的切線(xiàn)交軸于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)、,直線(xiàn)、、分別與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)、、,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線(xiàn)的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程,并求出點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)求證:為線(xiàn)段的中點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓與過(guò)其右焦點(diǎn)F(1,0)的直線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A,B,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為D,且直線(xiàn)l與直線(xiàn)OD的斜率之積為.
(1)求C的方程;
(2)設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為M,kMA,kMB分別表示直線(xiàn)MA,MB的斜率,求證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,∠BAD=60°,△PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,底面ABCD是菱形,點(diǎn)M為PC的中點(diǎn).
(1)求證:PA∥平面MDB;
(2)求三棱錐A﹣BDM的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年9月25日.阿里巴巴在杭州云棲大會(huì)上正式對(duì)外發(fā)布了含光800AI芯片,在業(yè)界標(biāo)準(zhǔn)的ResNet -50測(cè)試中,含光800推理性能達(dá)到78563lPS,比目前業(yè)界最好的AI芯片性能高4倍;能效比500 IPS/W,是第二名的3.3倍.在國(guó)內(nèi)集成電路產(chǎn)業(yè)發(fā)展中,集成電路設(shè)計(jì)產(chǎn)業(yè)始終是國(guó)內(nèi)集成電路產(chǎn)業(yè)中最具發(fā)展活力的領(lǐng)域,增長(zhǎng)也最為迅速.如圖是2014-2018年中國(guó)集成電路設(shè)計(jì)產(chǎn)業(yè)的銷(xiāo)售額(億元)及其增速(%)的統(tǒng)計(jì)圖,則下面結(jié)論中正確的是( )
A.2014-2018年,中國(guó)集成電路設(shè)計(jì)產(chǎn)業(yè)的銷(xiāo)售額逐年增加
B.2014-2017年,中國(guó)集成電路設(shè)計(jì)產(chǎn)業(yè)的銷(xiāo)售額增速逐年下降
C.2018年中國(guó)集成電路設(shè)計(jì)產(chǎn)業(yè)的銷(xiāo)售額的增長(zhǎng)率比2015年的高
D.2018年與2014年相比,中國(guó)集成電路設(shè)計(jì)產(chǎn)業(yè)銷(xiāo)售額的增長(zhǎng)率約為110%
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線(xiàn)E的方程為x2=2py(p>0),其焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)M (0,4)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于P、Q兩點(diǎn)且△OPQ為以O為直角頂點(diǎn)的直角三角形.
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)N為曲線(xiàn)E上的任意一點(diǎn),證明:以FN為直徑的圓與x軸相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知平面平面為等邊三角形,為的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)求直線(xiàn)和平面所成角的正弦值.
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