【題目】如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB⊥側面BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2,∠BCC1= .
(1)求證:C1B⊥平面ABC;
設 (0≤λ≤1),且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角的大小為30°,
試求λ的值.
【答案】(1)見解析(2)1
【解析】試題分析:(1)先由線面垂直的性質證明,再根據余玄定理及勾股定理證明,利用直線與平面垂直的判斷定理證明平面;(2)通過兩兩垂直.以為原點,所在直線軸建立空間直角坐標系.求出相關點的坐標,求出平面的一個法向量,平面BB1E的一個法向量,通過向量的數(shù)量積,推出的方程,求解即可.
試題解析:(1)證明:因為AB⊥側面BB1C1C,BC1側面BB1C1C,故AB⊥BC1.
在△BCC1中,BC=1,CC1=BB1=2,∠BCC1=,
BC=BC2+CC-2BC·CC1·cos∠BCC1=12+22-2×1×2×cos=3.
所以BC1=,故BC2+BC=CC,所以BC⊥BC1,
而BC∩AB=B 所以C1B⊥平面ABC.
(2)由(1)可知,AB,BC,BC1兩兩垂直.以B為原點,BC,BA,BC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.
則B(0,0,0),A(0,1,0),B1(-1,0,),C(1,0,0),C1(0,0,).
所以=(-1,0,),所以=(-λ,0,λ
則=(1-λ,-1,λ),=(-1,-1,).
設平面AB1E的法向量為n=(x,y,z),
則即
令z=,則x=,y=,
故n=是平面AB1E的一個法向量.
因為AB⊥平面BB1C1C,所以=(0,1,0)是平面BB1E的一個法向量,
所以|cos〈n,〉|=
=
=.
兩邊平方并化簡得2λ2-5λ+3=0,所以λ=1或λ= (舍去).
故所求λ的值為1
【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當?shù)目臻g直角坐標系;(2)寫出相應點的坐標,求出相應直線的方向向量;(3)設出相應平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關系轉化為向量關系;(5)根據定理結論求出相應的角和距離.
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【題目】設函數(shù)在區(qū)間上單調遞增;函數(shù)在其定義域上存在極值.
(1)若為真命題,求實數(shù)的取值范圍;
(2)如果“或”為真命題,“且”為假命題,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】(1)已知函數(shù)f(x)的定義域為[0,1],求f(x2+1)的定義域;
(2)已知f()的定義域為[0,3],求f(x)的定義域.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=0.5x2-bx, (b為常數(shù))。
(1)函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線與函數(shù)g(x)的圖象相切,求實數(shù)b的值;
(2)若函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)在定義域上不單調,求實數(shù)b的取值范圍;
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【題目】如圖,拋物線的焦點為,拋物線上一定點.
(1)求拋物線的方程及準線的方程;
(2)過焦點的直線(不經過點)與拋物線交于兩點,與準線交于點,記的斜率分別為,問是否存在常數(shù),使得成立?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知冪函數(shù)f(x)=xα,當x>1時,恒有f(x)<x,則α的取值范圍是( )
A. (0,1) B. (-∞,1)
C. (0,+∞) D. (-∞,0)
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【題目】已知定義在上的函數(shù) 和的圖象如圖
給出下列四個命題:
①方程有且僅有個根;②方程有且僅有個根;
③方程有且僅有個根;④方程有且僅有個根;
其中正確命題的序號是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
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【題目】已知函數(shù),且.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2) 判斷函數(shù)在(1,+∞)上的單調性,并用定義證明你的結論;
(3)若,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】某廠商調查甲、乙兩種不同型號電視機在10個賣場的銷售量(單位:臺),并根據這10個賣場的銷售情況,得到如圖所示的莖葉圖.
為了鼓勵賣場,在同型號電視機的銷售中,該廠商將銷售量高于數(shù)據平均數(shù)的賣場命名為該型號電視機的“星級賣場”.
(1)當時,記甲型號電視機的“星級賣場”數(shù)量為,乙型號電視機的“星級賣場”數(shù)量為,比較的大小關系;
(2)在這10個賣場中,隨機選取2個賣場,記為其中甲型號電視機的“星級賣場”的個數(shù),求的分布列和數(shù)學期望;
(3)若,記乙型號電視機銷售量的方差為,根據莖葉圖推斷為何值時,達到最小值.(只需寫出結論)
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