Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）證明見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，再次求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性，便可求出參數(shù)a的取值范圍。

（Ⅱ）令，并化簡(jiǎn)求導(dǎo)，再利用單調(diào)性證明。

解：（Ⅰ）由，，得.

函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

等價(jià)于在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn).

令，則.

所以時(shí)，，單調(diào)遞增；

時(shí)，，單調(diào)遞減，所以.

當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)極值點(diǎn)，舍去；

當(dāng)時(shí)，，，，，而，

由零點(diǎn)存在性定理得在和內(nèi)分別存在一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn).

綜上，所求的取值范圍為.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，且.

由（Ⅰ）知，.

令，.

則，

由在恒成立，得時(shí)，，單調(diào)遞減.

又，所以時(shí)，，即.

所以，所以.由（Ⅰ）知在單調(diào)遞減，

所以，即.所以，即，

因?yàn)?/span>，所以，，所以.

即.