【題目】已知點F(1,0),點A是直線l1:x=﹣1上的動點,過A作直線l2 , l1⊥l2 , 線段AF的垂直平分線與l2交于點P. (Ⅰ)求點P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)若點M,N是直線l1上兩個不同的點,且△PMN的內(nèi)切圓方程為x2+y2=1,直線PF的斜率為k,求 的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)∵點F(1,0),點A是直線l1:x=﹣1上的動點,過A作直線l2 , l1⊥l2 , 線段AF的垂直平分線與l2交于點P, ∴點P到點F(1,0)的距離等于它到直線l1的距離,
∴點P的軌跡是以點F為焦點,直線l1:x=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線,
∴曲線C的方程為y2=4x.
(Ⅱ)設(shè)P(x0 , y0),點M(﹣1,m),點N(﹣1,n),
直線PM的方程為:y﹣m= (x+1),
化簡,得(y0﹣m)x﹣(x0+1)y+(y0﹣m)+m(x0+1)=0,
∵△PMN的內(nèi)切圓的方程為x2+y2=1,
∴圓心(0,0)到直線PM的距離為1,即 =1,
∴ = ,
由題意得x0>1,∴上式化簡,得(x0﹣1)m2+2y0m﹣(x0+1)=0,
同理,有 ,
∴m,n是關(guān)于t的方程(x0﹣1)t2+2y t﹣(x0+1)=0的兩根,
∴m+n= ,mn= ,
∴|MN|=|m﹣n|= ,
∵ ,|y0|=2 ,
∴|MN|= ,
直線PF的斜率 ,則k=| |= ,
∴ = = ,
∵函數(shù)y=x﹣ 在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴ ,
∴ ,
∴0< < .
∴ 的取值范圍是(0, )
【解析】(Ⅰ)點P到點F(1,0)的距離等于它到直線l1的距離,從而點P的軌跡是以點F為焦點,直線l1:x=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線,由此能求出曲線C的方程.(Ⅱ)設(shè)P(x0 , y0),點M(﹣1,m),點N(﹣1,n),直線PM的方程為(y0﹣m)x﹣(x0+1)y+(y0﹣m)+m(x0+1)=0,△PMN的內(nèi)切圓的方程為x2+y2=1,圓心(0,0)到直線PM的距離為1,由x0>1,得(x0﹣1)m2+2y0m﹣(x0+1)=0,同理, ,由此利用韋達定理、弦長公式、直線斜率,結(jié)合已知條件能求出 的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)當(dāng)時,討論函數(shù)與圖象的交點個數(shù).
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【題目】已知直線y=b與函數(shù)f(x)=2x+3和g(x)=ax+lnx分別交于A,B兩點,若|AB|的最小值為2,則a+b= .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣m|﹣|x+3m|(m>0). (Ⅰ)當(dāng)m=1時,求不等式f(x)≥1的解集;
(Ⅱ)對于任意實數(shù)x,t,不等式f(x)<|2+t|+|t﹣1|恒成立,求m的取值范圍.
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【題目】某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:
日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
晝夜溫差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
就診人數(shù)(個) | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(Ⅰ)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)2月至5月份的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程=x+;
(Ⅱ)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想.
附:(參考數(shù)據(jù))
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【題目】已知f(x)=|x﹣a|+|2x﹣a|,a<0. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)若不等式f(x)< 的解集非空,求a的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,點.
(Ⅰ)經(jīng)過點且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點,求.
(Ⅱ)問是否存在直線與橢圓交于兩點、且,若存在,求出直線斜率的取值范圍;若不存在說明理由.
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,等差數(shù)列滿足.
(1)分別求數(shù)列的通項公式;
(2)若對任意的,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知動點M(x,y)滿足,點M的軌跡為曲線E.
(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點F(1,0)作直線交曲線E于P,Q兩點,交軸于R點,若,證明:為定值.
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