【題目】已知橢圓C的焦點為(,0),(,0),且橢圓C過點M(4,1),直線l不過點M,且與橢圓交于不同的兩點A,B.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)求證:直線MA,MB與x軸總圍成一個等腰三角形.

【答案】(1)2)詳見解析

【解析】

(1)利用橢圓的定義先求出2a的值,可得出的值,再利用ab、c之間的關系求出b的值,從而得出橢圓C的標準方程;

(2)將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,列出韋達定理,利用斜率公式以及韋達定理計算出直線MA、MB的斜率互為相反數(shù)來證明結論成立.

(1)設橢圓的方程為,則,解得

所以橢圓的標準方程為.

(2)將代入并整理得,

,.

∵直線與橢圓交于不同的兩點,∴,解得,

∴直線,的斜率存在且不為零.

設直線,的斜率分別為,只要證明.

,,

.

故原命題成立.

練習冊系列答案
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,

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