【題目】已知函數(shù)。
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
【答案】(1) 函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0, );單調(diào)遞增區(qū)間是(,+∞);(2) a≤-.
【解析】試題分析:(Ⅰ)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再通過(guò)討論a的范圍,從而求出其單調(diào)區(qū)間,(Ⅱ)由g(x)=+x2+2aln x得g′(x)=-+2x+,建立新函數(shù),求出其最小值,解出即可.
試題解析:
(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>(0,+∞).
①當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)>0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);
②當(dāng)a<0時(shí),f′(x)=.
當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下:
x | (0, ) | (,+∞) | |
f′(x) | - | 0 | + |
f(x) | 極小值 |
由上表可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0, );單調(diào)遞增區(qū)間是(,+∞).
(Ⅱ )由g(x)=+x2+2aln x,得g′(x)=-+2x+,
由已知函數(shù)g(x)為[1,2]上的單調(diào)減函數(shù),則g′(x)≤0在[1,2]上恒成立,
即-+2x+≤0在[1,2]上恒成立.即a≤-x2在[1,2]上恒成立.
令,則h′(x)=--2x=-(+2x)
,所以h(x)在[1,2]上為減函數(shù),
h(x)min=h(2)=-, 所以a≤-.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,側(cè)棱底面, 垂直于和, , , 是棱的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求平面與平面所成的二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn), 與平面所成的角為,求的最大值.
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【題目】某學(xué)校團(tuán)委組織了“文明出行,愛(ài)我中華”的知識(shí)競(jìng)賽,從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其成績(jī)(單位:分)整理后,得到如圖頻率分布直方圖(其中分組區(qū)間為[40,50),[50,60),…,[90,100]).
(1)求成績(jī)?cè)赱70,80)的頻率和[70,80)這組在頻率分布直方圖中的縱坐標(biāo)a的值;
(2)求這次考試平均分的估計(jì)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】當(dāng)今信息時(shí)代,眾多高中生也配上了手機(jī).某校為研究經(jīng)常使用手機(jī)是否對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)有影響,隨機(jī)抽取高三年級(jí)50名理科生的一次數(shù)學(xué)周練成績(jī),并制成下面的列聯(lián)表:
及格 | 不及格 | 合計(jì) | |
很少使用手機(jī) | 20 | 6 | 26 |
經(jīng)常使用手機(jī) | 10 | 14 | 24 |
合計(jì) | 30 | 20 | 50 |
(1)判斷是否有的把握認(rèn)為經(jīng)常使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)有影響?
(2)從這50人中,選取一名很少使用手機(jī)的同學(xué)記為甲和一名經(jīng)常使用手機(jī)的同學(xué)記為乙,解一道數(shù)學(xué)題,甲、乙獨(dú)立解出此題的概率分別為,且 ,若,則此二人適合結(jié)為學(xué)習(xí)上互幫互助的“學(xué)習(xí)師徒”,記為兩人中解出此題的人數(shù),若的數(shù)學(xué)期望,問(wèn)兩人是否適合結(jié)為“學(xué)習(xí)師徒”?
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
參考公式及數(shù)據(jù): ,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中, 為正三角形,四邊形為矩形,平面 平面, , 分別為的中點(diǎn)。
(Ⅰ)求證: //平面;
(Ⅱ)求二面角的大小。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,g(x)=a(x+b)(0<a≤1,b≤0).
(1)討論函數(shù)y=f(x)g(x)的奇偶性;
(2)當(dāng)b=0時(shí),判斷函數(shù)y= 在(﹣1,1)上的單調(diào)性,并說(shuō)明理由;
(3)設(shè)h(x)=|af2(x)﹣ |,若h(x)的最大值為2,求a+b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種心臟手術(shù),成功率為,現(xiàn)準(zhǔn)備進(jìn)行例此種手術(shù),試估計(jì):
(1)恰好成功例的概率.
(2)恰好成功例的概率.
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【題目】已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的中心是原點(diǎn),離心率為雙曲線離心率的一半,直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.直線: 與軸交于點(diǎn),與橢圓交于兩個(gè)相異點(diǎn),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使?若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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