【題目】(I)已知函數(shù)f(x)=rx﹣xr+(1﹣r)(x>0),其中r為有理數(shù),且0<r<1.
(1)求f(x)的最小值;
(2)試用(1)的結(jié)果證明如下命題:設(shè)a1≥0,a2≥0,b1 , b2為正有理數(shù),若b1+b2=1,則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2;
(3)請(qǐng)將(2)中的命題推廣到一般形式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.注:當(dāng)α為正有理數(shù)時(shí),有求導(dǎo)公式(xα)r=αxα﹣1 .
【答案】
(1)
解:求導(dǎo)函數(shù)可得:f′(x)=r(1﹣xr﹣1),令f′(x)=0,解得x=1;
當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)<0,所以f(x)在(0,1)上是減函數(shù);
當(dāng)x>1時(shí),f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù)
所以f(x)在x=1處取得最小值f(1)=0;
(2)
解:由(1)知,x∈(0,+∞)時(shí),有f(x)≥f(1)=0,即xr≤rx+(1﹣r)①
若a1,a2中有一個(gè)為0,則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立;
若a1,a2均不為0,∵b1+b2=1,∴b2=1﹣b1,
∴①中令 ,可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立
綜上,對(duì)a1≥0,a2≥0,b1,b2為正有理數(shù),若b1+b2=1,則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2;②
(3)
解:(2)中的命題推廣到一般形式為:設(shè)a1≥0,a2≥0,…,an≥0,b1,b2,…,bn為正有理數(shù),若b1+b2+…+bn=1,則a1b1a2b2…anbn≤a1b1+a2b2+…anbn;③
用數(shù)學(xué)歸納法證明
(1)當(dāng)n=1時(shí),b1=1,a1≤a1,③成立
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),③成立,即a1≥0,a2≥0,…,ak≥0,b1,b2,…,bk為正有理數(shù),若b1+b2+…+bk=1,則a1b1a2b2…akbk≤a1b1+a2b2+…akbk.
當(dāng)n=k+1時(shí),a1≥0,a2≥0,…,ak+1≥0,b1,b2,…,bk+1為正有理數(shù),若b1+b2+…+bk+1=1,則1﹣bk+1>0
于是a1b1a2b2…akbkak+1bk+1=(a1b1a2b2…akbk)ak+1bk+1= ak+1bk+1
∵ + +…+ =1
∴ ≤ + +…+
=
∴ ak+1bk+1≤ (1﹣bk+1)+ak+1bk+1,
∴a1b1a2b2…akbkak+1bk+1≤a1b1+a2b2+…akbk+ak+1bk+1.
∴當(dāng)n=k+1時(shí),③成立
由(1)(2)可知,對(duì)一切正整數(shù),推廣的命題成立.
【解析】(1)求導(dǎo)函數(shù),令f′(x)=0,解得x=1;確定函數(shù)在(0,1)上是減函數(shù);在(0,1)上是增函數(shù),從而可求f(x)的最小值;(2)由(1),x∈(0,+∞)時(shí),有f(x)≥f(1)=0,即xr≤rx+(1﹣r),分類討論:若a1 , a2中有一個(gè)為0,則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立;若a1 , a2均不為0, ,可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立(3)(2)中的命題推廣到一般形式為:設(shè)a1≥0,a2≥0,…,an≥0,b1 , b2 , …,bn為正有理數(shù),若b1+b2+…+bn=1,則a1b1a2b2…anbn≤a1b1+a2b2+…anbn;
用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),b1=1,a1≤a1 , 推廣命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),推廣命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí),利用a1b1a2b2…akbkak+1bk+1=(a1b1a2b2…akbk)ak+1bk+1= ak+1bk+1 , 結(jié)合歸納假設(shè),即可得到結(jié)論.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,底面,,,,分別為的中點(diǎn),為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若為線段的中點(diǎn),求證:平面;
(Ⅲ)試判斷直線與平面是否能夠垂直。若能垂直,求的值;若不能垂直,請(qǐng)說明理由
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)的和為﹣3,前三項(xiàng)的積為8.
(1)求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若a2 , a3 , a1成等比數(shù)列,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,且).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)在上的最大值.
【答案】(Ⅰ)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(Ⅱ)當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .
【解析】【試題分析】(I)利用的二階導(dǎo)數(shù)來研究求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II) 由(Ⅰ)得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由此可知.利用導(dǎo)數(shù)和對(duì)分類討論求得函數(shù)在不同取值時(shí)的最大值.
【試題解析】
(Ⅰ),
設(shè) ,則.
∵, ,∴在上單調(diào)遞增,
從而得在上單調(diào)遞增,又∵,
∴當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,
因此, 的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
由此可知.
∵, ,
∴.
設(shè),
則 .
∵當(dāng)時(shí), ,∴在上單調(diào)遞增.
又∵,∴當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .
①當(dāng)時(shí), ,即,這時(shí), ;
②當(dāng)時(shí), ,即,這時(shí), .
綜上, 在上的最大值為:當(dāng)時(shí), ;
當(dāng)時(shí), .
[點(diǎn)睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),并結(jié)合特殊點(diǎn),從而判斷函數(shù)的大致圖像,討論其圖象與軸的位置關(guān)系,進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍;或通過對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,圓的普通方程為. 在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為 .
(Ⅰ) 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
( Ⅱ ) 設(shè)直線 與軸和軸的交點(diǎn)分別為,為圓上的任意一點(diǎn),求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2mx+2m+3(m∈R),若關(guān)于x的方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根,且兩根分別為x1,x2,則(x1+x2)x1x2,的最大值為()
A. B. 2C. 3D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用(單位:萬元)與隔熱層厚度(單位:厘米)滿足關(guān)系:.若不建隔熱層,每年的能源消耗費(fèi)用為萬元.設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與年的能源消耗費(fèi)用之和.
(1)求的值及的表達(dá)式;
(2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用最小,并求其最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高二理(1)班學(xué)習(xí)興趣小組為了調(diào)查學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例,設(shè)計(jì)了如下調(diào)查方法:
(1)在本校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生,并編號(hào)1,2,3,…,100;
(2)在箱內(nèi)放置了兩個(gè)黃球和三個(gè)紅球,讓抽取到的100名學(xué)生分別從箱中隨機(jī)摸出一球,記住其顏色并放回;
(3)請(qǐng)下列兩類學(xué)生站出來,一是摸到黃球且編號(hào)數(shù)為奇數(shù)的學(xué)生,二是摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生。
若共有32名學(xué)生站出來,那么請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)估計(jì)該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例大約是( )
A. 80%B. 85%C. 90%D. 92%
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】第屆世界杯足球賽在俄羅斯進(jìn)行,某校足球協(xié)會(huì)為了解該校學(xué)生對(duì)此次足球盛會(huì)的關(guān)注情況,隨機(jī)調(diào)查了該校名學(xué)生,并將這名學(xué)生分為對(duì)世界杯足球賽“非常關(guān)注”與“一般關(guān)注”兩類,已知這名學(xué)生中男生比女生多人,對(duì)世界杯足球賽“非常關(guān)注”的學(xué)生中男生人數(shù)與女生人數(shù)之比為,對(duì)世界杯足球賽“一般關(guān)注”的學(xué)生中男生比女生少人.
(1)根據(jù)題意建立列聯(lián)表,判斷是否有的把握認(rèn)為男生與女生對(duì)世界杯足球賽的關(guān)注有差異?
(2)該校足球協(xié)會(huì)從對(duì)世界杯足球賽“非常關(guān)注”的學(xué)生中根據(jù)性別進(jìn)行分層抽樣,從中抽取人,再?gòu)倪@人中隨機(jī)選出人參與世界杯足球賽宣傳活動(dòng),求這人中至少有一個(gè)男生的概率.
附:,.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com