【題目】已知函數(shù)(,且).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)在上的最大值.
【答案】(Ⅰ)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(Ⅱ)當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .
【解析】【試題分析】(I)利用的二階導(dǎo)數(shù)來研究求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II) 由(Ⅰ)得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由此可知.利用導(dǎo)數(shù)和對(duì)分類討論求得函數(shù)在不同取值時(shí)的最大值.
【試題解析】
(Ⅰ),
設(shè) ,則.
∵, ,∴在上單調(diào)遞增,
從而得在上單調(diào)遞增,又∵,
∴當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,
因此, 的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
由此可知.
∵, ,
∴.
設(shè),
則 .
∵當(dāng)時(shí), ,∴在上單調(diào)遞增.
又∵,∴當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .
①當(dāng)時(shí), ,即,這時(shí), ;
②當(dāng)時(shí), ,即,這時(shí), .
綜上, 在上的最大值為:當(dāng)時(shí), ;
當(dāng)時(shí), .
[點(diǎn)睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),并結(jié)合特殊點(diǎn),從而判斷函數(shù)的大致圖像,討論其圖象與軸的位置關(guān)系,進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍;或通過對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,圓的普通方程為. 在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為 .
(Ⅰ) 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
( Ⅱ ) 設(shè)直線 與軸和軸的交點(diǎn)分別為,為圓上的任意一點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知在極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系中,極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與軸的正半軸重合,直線:(為參數(shù)),圓:.
(Ⅰ)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)已知是直線上一點(diǎn),是圓上一點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在國(guó)內(nèi)汽車市場(chǎng)中,國(guó)產(chǎn)SUV出現(xiàn)了持續(xù)不退的銷售熱潮,2018年國(guó)產(chǎn)SUV銷量排行榜完整版已經(jīng)出爐,某品牌車型以驚人的銷量成績(jī)擊退了所有虎視眈眈的對(duì)手,再次霸氣登頂,下面是該品牌國(guó)產(chǎn)SUV分別在2017年與2018年7~11月份的銷售量對(duì)比表
時(shí)間 | 7月 | 8月 | 9月 | 10月 | 11月 |
2017年(單位:萬輛) | 2.8 | 3.9 | 3.5 | 4.4 | 5.4 |
2018年(單位:萬輛) | 3.8 | 3.9 | 4.5 | 4.9 | 5.4 |
(Ⅰ)若從7月至11月中任選兩個(gè)月份,求至少有一個(gè)月份這兩年該國(guó)產(chǎn)品牌SUV銷量相同的概率。
(Ⅱ)分別求這兩年7月至11月的銷售數(shù)據(jù)的平均數(shù),并直接判斷哪年的銷售量比較穩(wěn)定。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰:置積尺數(shù),以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即立圓徑,“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V,求其直徑d的一個(gè)近似公式d≈ .人們還用過一些類似的近似公式.根據(jù)π=3.14159…..判斷,下列近似公式中最精確的一個(gè)是( )
A.d≈
B.d≈
C.d≈
D.d≈
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,∠ACB=45°,BC=3,過動(dòng)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B,連接AB,沿AD將△ABD折起,使∠BDC=90°(如圖2所示),
(1)當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí),三棱錐A﹣BCD的體積最大;
(2)當(dāng)三棱錐A﹣BCD的體積最大時(shí),設(shè)點(diǎn)E,M分別為棱BC,AC的中點(diǎn),試在棱CD上確定一點(diǎn)N,使得EN⊥BM,并求EN與平面BMN所成角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(I)已知函數(shù)f(x)=rx﹣xr+(1﹣r)(x>0),其中r為有理數(shù),且0<r<1.
(1)求f(x)的最小值;
(2)試用(1)的結(jié)果證明如下命題:設(shè)a1≥0,a2≥0,b1 , b2為正有理數(shù),若b1+b2=1,則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2;
(3)請(qǐng)將(2)中的命題推廣到一般形式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.注:當(dāng)α為正有理數(shù)時(shí),有求導(dǎo)公式(xα)r=αxα﹣1 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的解析式滿足.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,求的取值范圍(只需寫出范圍,不用說明理由)。
(3)當(dāng)時(shí),記函數(shù),求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax∈Z),曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)證明:函數(shù)y=f(x)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形,并求其對(duì)稱中心;
(3)證明:曲線y=f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x=1和直線y=x所圍成的三角形的面積為定值,并求出此定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)在區(qū)間上的最小值記為.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的值域;
(2)求的函數(shù)表達(dá)式;
(3)求的最大值.
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