Question

【題目】函數(shù)在區(qū)間上的最小值記為．

（1）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（2）求的函數(shù)表達式；

（3）求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，從而可得出此時函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（2）對二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出函數(shù)在區(qū)間上的最小值的表達式；

（3）求出分段函數(shù)在每一段定義域上的值域，可得出該函數(shù)的最大值.

（1）當時，，

當時，函數(shù)取最小值，即；

當時，函數(shù)取最大值，即.

因此，函數(shù)在區(qū)間上的值域為；

（2）①當時，函數(shù)的對稱軸，

此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則；

②當時，函數(shù)的對稱軸，

此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則；

③當時，函數(shù)的對稱軸，

此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則．

綜上所述，；

（3）①當時，；

②當時，；

當時，．

由①②③可知．