Question

已知幾何體A—BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．
（1）求此幾何體的體積V的大小;
（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；
（3）試探究在DE上是否存在點Q，使得AQBQ并說明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在點Q，使得AQBQ.

試題分析：（1）由三視圖還原幾何體為一個錐體，利用錐體體積公式求解；（2）法1：化空間角為平面角，在一個三角形內求值；法2：建立空間直角坐標系求解；（3）法1：假設存在，通過構造面面垂直來實現(xiàn)AQBQ；法2：建立空間直角坐標系，轉化為兩對應向量數(shù)量積為零，求出點Q的坐標.
試題解析：（1）由該幾何體的三視圖知面,且EC="BC=AC=4" ，BD=1，

∴
∴．
即該幾何體的體積V為．                 3分
（2）解法1:過點B作BF//ED交EC于F，連結AF，
則∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角．    5分
在△BAF中，∵AB=，BF=AF=．
∴．
即異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．                 7分
解法2：以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系．
則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）

∴，∴ 
∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．
（3）解法1:在DE上存在點Q，使得AQBQ.                    8分
取BC中點O，過點O作OQ⊥DE于點Q，則點Q滿足題設.
連結EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中
∵   ∴∽   
∵ ∴  
∴．                                              11分
∵,
∴
∴以O為圓心、以BC為直徑的圓與DE相切．切點為Q

∴
∵面,面 ∴ ∴面      13分
∵面ACQ
∴．                                               14分
解法2: 以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系．
設滿足題設的點Q存在,其坐標為（0，m，n），則
，
∵AQBQ   ∴              ①
∵點Q在ED上，∴存在使得
∴     ②
②代入①得，解得
∴滿足題設的點Q存在，其坐標為．