Question

若f（x）=-

1

2

x2+bln（x+2）在（-1，+∞）上是減函數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：求出導(dǎo)數(shù)f′（x），則f（x）在（-1，+∞）上是減函數(shù)等價于-x+

b

x+2

≤0在（-1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)b后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)易求函數(shù)最值．

解答：解：f′（x）=-x+

b

x+2

，
故f（x）在（-1，+∞）上是減函數(shù)等價于-x+

b

x+2

≤0在（-1，+∞）上恒成立，
由x＞-1得x+2＞0，
原命題成立等價于b≤x²+2x在（-1，+∞）上恒成立，
又y=x²+2x在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，x²+2x＞-1，
故b≤-1，
故b的取值范圍為（-∞，-1]．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可導(dǎo)函數(shù)f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增的充要條件為f′（x）≥0．