Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若，討論的單調(diào)性；

（2）若，證明：當(dāng)時，

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時， ，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的有關(guān)知識，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）對函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)，利用二階導(dǎo)數(shù)判讀出一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞增有唯一零點，設(shè)出這個零點，得到的單調(diào)區(qū)間和最小值.構(gòu)造函數(shù)，同樣利用二階導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)區(qū)間，由此求得的值域.

試題解析：

（1）當(dāng)時， ． ，令，得．

易知在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增．

（2）證明： ， .

當(dāng)時， ，故，故單調(diào)遞增．

又，

故存在唯一的，使得，即，

且當(dāng)時， ，故單調(diào)遞減，

當(dāng)時， ，故單調(diào)遞增．

故．

因為是方程的根，故．

故．

令， ， ．

故在(0，1)上單調(diào)遞減，故g，

故在(0，1)上單調(diào)遞減，∴，故．