【題目】在極坐標系中,曲線,曲線,點,以極點為原點,極軸為軸正半軸建立直角坐標系.
(1)求曲線和的直角坐標方程;
(2)過點的直線交于點,交于點,若,求的最大值.
【答案】(1), ;(2)
【解析】試題分析:(1)第(1)問,利用極坐標化直角坐標的公式解答 .(2)第(2)問,
先把直線的參數(shù)方程代入曲線C1的直角坐標方程,利用韋達定理求出,再求出,最后代入,求出的最大值.
試題解析:
(1)曲線C1的直角坐標方程為:x2+y2-2y=0;
曲線C2的直角坐標方程為:x=3.
(2)P的直角坐標為(-1,0),設(shè)直線l的傾斜角為α,(0<α<),
則直線l的參數(shù)方程為: , (t為參數(shù),0<α<)
代入C1的直角坐標方程整理得,
t2-2(sinα+cosα)t+1=0,
t1+t2=2(sinα+cosα)
直線l的參數(shù)方程與x=3聯(lián)立解得,t3=,
由t的幾何意義可知,
|PA|+|PB|=2(sinα+cosα)=λ|PQ|=,整理得,
4λ=2(sinα+cosα)cosα=sin2α+cos2α+1=sin(2α+)+1,
由0<α<, <2α+<,
所以,當2α+=,即α=時,λ有最大值.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C對應的邊分別是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的面積S=5,b=5,求sinBsinC的值.
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【題目】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,E為棱CC1的中點,點M在正方形BCC1B1內(nèi)運動,且直線AM∥平面A1DE,則動點M的軌跡長度為______.
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【題目】在直角梯形中,,,,如圖1.把沿翻折,使得平面平面,如圖2.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)若點為線段中點,求點到平面的距離;
(Ⅲ)在線段上是否存在點,使得與平面所成角為?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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【題目】為了研究黏蟲孵化的平均溫度(單位: )與孵化天數(shù)之間的關(guān)系,某課外興趣小組通過試驗得到如下6組數(shù)據(jù):
組號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
平均溫度 | 15.3 | 16.8 | 17.4 | 18 | 19.5 | 21 |
孵化天數(shù) | 16.7 | 14.8 | 13.9 | 13.5 | 8.4 | 6.2 |
他們分別用兩種模型①,②分別進行擬合,得到相應的回歸方程并進行殘差分析,得到如圖所示的殘差圖:
經(jīng)計算得,
(1)根據(jù)殘差圖,比較模型①,②的擬合效果,應選擇哪個模型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(2)殘差絕對值大于1的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù),需要剔除,剔除后應用最小二乘法建立關(guān)于的線性回歸方程.(精確到0.1)
,.
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【題目】已知圓,直線與圓相交于不同的兩點,點是線段的中點。
(1)求直線的方程;
(2)是否存在與直線平行的直線,使得與與圓相交于不同的兩點,不經(jīng)過點,且的面積最大?若存在,求出的方程及對應的的面積S;若不存在,請說明理由。
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【題目】已知函數(shù), ,在處的切線方程為.
(1)求, ;
(2)若,證明: .
【答案】(1), ;(2)見解析
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導數(shù),得到關(guān)于 的方程組,解出即可;
(2)由(1)可知, ,
由,可得,令, 利用導數(shù)研究其單調(diào)性可得
,
從而證明.
試題解析:((1)由題意,所以,
又,所以,
若,則,與矛盾,故, .
(2)由(1)可知, ,
由,可得,
令,
,
令
當時, , 單調(diào)遞減,且;
當時, , 單調(diào)遞增;且,
所以在上當單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且,
故,
故.
【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線求參數(shù)的方法,以及利用導數(shù)證明不等式的方法,解題時要認真審題,注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)),以坐標原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為,若直線與曲線相切;
(1)求曲線的極坐標方程;
(2)在曲線上取兩點, 與原點構(gòu)成,且滿足,求面積的最大值.
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【題目】某公司對營銷人員有如下規(guī)定:
①年銷售額 (萬元)在8萬元以下,沒有獎金;
②年銷售額 (萬元), 時,獎金為萬元,且, ,且年銷售額越大,獎金越多;
③年銷售額超過64萬元,按年銷售額的10%發(fā)獎金.
(1)求獎金y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)若某營銷人員爭取獎金 (萬元),則年銷售額 (萬元)在什么范圍內(nèi)?
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【題目】濟南新舊動能轉(zhuǎn)換先行區(qū),承載著濟南從“大明湖時代”邁向“黃河時代”的夢想,肩負著山東省新舊動能轉(zhuǎn)換先行先試的重任,是全國新舊動能轉(zhuǎn)換的先行區(qū).先行區(qū)將以“結(jié)構(gòu)優(yōu)化質(zhì)量提升”為目標,通過開放平臺匯聚創(chuàng)新要素,堅持綠色循環(huán)保障持續(xù)發(fā)展,建設(shè)現(xiàn)代綠色智慧新城.2019年某智能機器人制造企業(yè)有意落戶先行區(qū),對市場進行了可行性分析,如果全年固定成本共需2000(萬元),每年生產(chǎn)機器人(百個),需另投人成本(萬元),且,由市場調(diào)研知,每個機器人售價6萬元,且全年生產(chǎn)的機器人當年能全部銷售完.
(1)求年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(百個)的函數(shù)關(guān)系式;(利潤=銷售額-成本)
(2)該企業(yè)決定:當企業(yè)年最大利潤超過2000(萬元)時,才選擇落戶新舊動能轉(zhuǎn)換先行區(qū).請問該企業(yè)能否落戶先行區(qū),并說明理由.
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