【題目】如圖,某城市有一條公路正西方AO通過市中心O后轉(zhuǎn)向北偏東α角方向的OB,位于該市的某大學M與市中心O的距離OM=3 km,且∠AOM=β,現(xiàn)要修筑一條鐵路L,L在OA上設一站A,在OB上設一站B,鐵路在AB部分為直線段,且經(jīng)過大學M,其中tanα=2,cosβ= ,AO=15km.
(1)求大學M在站A的距離AM;
(2)求鐵路AB段的長AB.
【答案】
(1)解:在△AOM中,A0=15,∠AOM=β,且cosβ= ,OM=3 ,
由余弦定理可得:AM2=OA2+OM2﹣2OAOMcos∠AOM=(3 )2+152﹣2× ×15× =72.
所以可得:AM=6 ,大學M在站A的距離AM為6 km
(2)解:∵cos ,且β為銳角,∴sinβ= ,
在△AOM中,由正弦定理可得: = ,即 = ,∴sin∠MAO= ,
∴∠MAO= ,∴∠ABO=α﹣ ,
∵tanα=2,∴sin ,cosα= ,
∴sin∠ABO=sin( )= ,
又∵∠AOB=π﹣α,∴sin∠AOB=sin(π﹣α)= .
在△AOB中,AO=15,由正弦定理可得: = ,即 ,∴解得AB=30 ,即鐵路AB段的長AB為30 km
【解析】(1)在△AOM中,利用已知及余弦定理即可解得AM的值;(2)由cos ,且β為銳角,可求sinβ,由正弦定理可得sin∠MAO,結(jié)合tanα=2,可求sinα,cosα,sin∠ABO,sin∠AOB,結(jié)合AO=15,由正弦定理即可解得AB的值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0),若對任意實數(shù)x,不等式2x≤f(x) (x+1)2恒成立.
(1)求f(1)的值;
(2)求a的取值范圍;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)+2a|x﹣1|,x∈[﹣2,2]的最小值為﹣1,求a的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a為實常數(shù)).
(1)當a=﹣4時,求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值及相應的x值;
(2)當x∈[1,e]時,討論方程f(x)=0根的個數(shù).
(3)若a>0,且對任意的x1 , x2∈[1,e],都有 ,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2))是函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ<0)圖象上的任意兩點,且角φ的終邊經(jīng)過點P(1,﹣ ),若|f(x1)﹣f(x2)|=4時,|x1﹣x2|的最小值為
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若方程3[f(x)]2﹣f(x)+m=0在x∈( , )內(nèi)有兩個不同的解,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】制定投資計劃時,不僅要考慮可能獲得的盈利,而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個項目.根據(jù)預測,甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%,可能的最大虧損分別為30%和10%.投資人計劃投資金額不超過10萬元,要求確?赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元.問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元,才能使可能的盈利最大?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),現(xiàn)以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線的極坐標方程為.
(1)寫出直線和曲線的普通方程;
(2)已知點為曲線上的動點,求到直線的距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓G: + =1(b>0)的上、下頂點和右焦點分別為M、N和F,且△MFN的面積為4 .
(1)求橢圓G的方程;
(2)若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點.以AB為底作等腰三角形,頂點為P(﹣3,2),求△PAB的面積.
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【題目】已知函數(shù) ,其中a∈R,且曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線垂直于直線
(1)求實數(shù)a的值
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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