【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0),若對任意實(shí)數(shù)x,不等式2x≤f(x) (x+1)2恒成立.
(1)求f(1)的值;
(2)求a的取值范圍;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)+2a|x﹣1|,x∈[﹣2,2]的最小值為﹣1,求a的值.
【答案】
(1)解:令x=1,由2x≤f(x) (x+1)2可得,
2≤f(1)≤2,∴f(1)=2
(2)解:由f(1)=2可得a+b+c=2,即為b=2﹣(a+c),
∵對于一切實(shí)數(shù)x,f(x)﹣2x≥0恒成立,
∴ax2+(b﹣2)x+c≥0(a≠0)對于一切實(shí)數(shù)x恒成立,
∴ ,即 .
可得(a﹣c)2≤0,但(a﹣c)2≥0,即有a=c>0,
則f(x)=ax2+bx+a,
f(x) (x+1)2恒成立,即為(a﹣ )x2+(b﹣1)x+(a﹣ )≤0,
可得a﹣ <0,且△=(b﹣1)2﹣4(a﹣ )2≤0,
由b﹣1=1﹣2a,即有△=0成立;
綜上可得a的范圍是(0, )
(3)解:函數(shù)g(x)=f(x)+2a|x﹣1|=ax2+(2﹣2a)x+a+2a|x﹣1|(0<a< ),
當(dāng)1≤x≤2時(shí),g(x)=ax2+2x﹣a在[1,2]遞增,可得x=1時(shí),取得最小值2;
當(dāng)﹣2≤x<1時(shí),g(x)=ax2+(2﹣4a)x+3a,對稱軸為x= ,
當(dāng) ≤﹣2,即為0<a≤ 時(shí),[﹣2,1)遞增,
可得x=﹣2取得最小值,且為4a﹣4+8a+3a=﹣1,解得a= ;
當(dāng) >﹣2,即 <a< 時(shí),
x= ,取得最小值,且為 =﹣1,
解得a= ( , ).
綜上可得,a=
【解析】(1)在給出不等式中,令x=1,根據(jù)這個(gè)條件可求出f(1)的值;(2)聯(lián)立f(1)=2,即可求出a+c與b的關(guān)系式.由f(x)﹣2x≥0恒成立,即:ax2+(b﹣1)x+c≥0對于一切實(shí)數(shù)x恒成立,只有當(dāng)a>0,且△=(b﹣2)2﹣4ac≤0時(shí),求得a=c>0,再由f(x) (x+1)2恒成立,可得二次項(xiàng)系數(shù)小于0,判別式小于等于0,解不等式即可得到a的范圍;(3)討論當(dāng)1≤x≤2時(shí),當(dāng)﹣2≤x<1時(shí),去掉絕對值,運(yùn)用二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系,求得最小值,解方程可得a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于定義域?yàn)?/span>上的函數(shù),如果同時(shí)滿足下列三條:
(1)對任意的,總有;(2)若, ,都有 成立;
(3)若,則.則稱函數(shù)為超級囧函數(shù).
則下列是超級囧函數(shù)的為_____________________.
(1);(2);(3);(4).
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【題目】已知圓心(2,﹣3),一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好在兩坐標(biāo)軸上,則這個(gè)圓的方程是( )
A.x2+y2﹣4x+6y=0
B.x2+y2﹣4x+6y﹣8=0
C.x2+y2﹣4x﹣6y=0
D.x2+y2﹣4x﹣6y﹣8=0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={x|x2+2x﹣3<0},集合B={x||x+a|<1}.
(1)若a=3,求A∪B;
(2)設(shè)命題p:x∈A,命題q:x∈B,若p是q成立的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn),且左、右焦點(diǎn)分別為,這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為, 是以為底邊的等腰三角形.若,記橢圓與雙曲線的離心率分別為,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】已知直線l被兩直線l1:4x+y+6=0和l2:3x﹣5y﹣6=0截得線段的中點(diǎn)為P(0,0),求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某上市股票在30天內(nèi)每股交易價(jià)格P(元)與時(shí)間t(天)組成有序數(shù)對(t,P),點(diǎn)(t,P)落在圖中的兩條線段上,該股票在30填內(nèi)的日交易量Q(萬股)與時(shí)間t(天)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示:
第t天 | 4 | 10 | 16 | 22 |
Q(萬股) | 36 | 30 | 24 | 18 |
(1)根據(jù)提供的圖象,寫出該種股票每股交易價(jià)格P(元)與時(shí)間t(天)所滿足的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定日交易量Q(萬股)與時(shí)間t(天)的一次函數(shù)關(guān)系式;
(3)用y表示該股票日交易額(萬元),寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并求在這30天中第幾天日交易額最大,最大值是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直線1通過點(diǎn)P(1,3)且與兩坐標(biāo)軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn).
(1)直線1與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為6,求直線1的方程;
(2)求OA+OB的最小值;
(3)求PAPB的最小值.
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【題目】如圖,某城市有一條公路正西方AO通過市中心O后轉(zhuǎn)向北偏東α角方向的OB,位于該市的某大學(xué)M與市中心O的距離OM=3 km,且∠AOM=β,現(xiàn)要修筑一條鐵路L,L在OA上設(shè)一站A,在OB上設(shè)一站B,鐵路在AB部分為直線段,且經(jīng)過大學(xué)M,其中tanα=2,cosβ= ,AO=15km.
(1)求大學(xué)M在站A的距離AM;
(2)求鐵路AB段的長AB.
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