Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，且離心率為，結(jié)合，求得的值，進(jìn)而求橢圓方程；

（Ⅱ）直線和圓錐曲線位置關(guān)系問題，往往會將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，根據(jù)其位置關(guān)系注意判別式符號的隱含條件，同時要善于利用韋達(dá)定理對交點(diǎn)設(shè)而不求．設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，因交于兩點(diǎn)故，得的不等式，設(shè)交點(diǎn)，帶入向量式得交點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系，再結(jié)合韋達(dá)定理列方程得的方程，與上述不等式聯(lián)立求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（Ⅰ）設(shè)所求的橢圓方程為：．

由題意, 所求橢圓方程為：．

（Ⅱ）若過點(diǎn)的斜率不存在，則．

若過點(diǎn)的直線斜率為，即時，直線的方程為．

由．

于是．

因?yàn)?/span>和橢圓交于不同兩點(diǎn)，所以，，所以．

①

設(shè)．由已知，則．

②

， 所以③

將③代入②, 得．整理得．

所以, 代入①式, 得．

即，解得．所以或． 綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為．