【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCDADAB,ABDC,ADDCAP2AB1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

(1)證明:BEDC

(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;

(3)F為棱PC上一點(diǎn),滿足BFAC,求二面角FABP的余弦值.

【答案】(1)見解析(2) (3)

【解析】試題分析:(I)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出BE,DC的方向向量,根據(jù)

,可得BEDC;(II)求出平面PBD的一個(gè)法向量,代入向量夾角公式,可得直線BE與平面PBD所成角的正弦值;()根據(jù)BFAC,求出向量的坐標(biāo),進(jìn)而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夾角公式,可得二面角F-AB-P的余弦值

試題解析:方法一:依題意,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示),可得B10,0),C2,20),D02,0),P0,0,2).CE為棱PC的中點(diǎn),得E1,11).

1)證明:向量=(0,11),=(2,0,0),

0,

所以BE⊥DC.

2)向量=(-12,0),=(1,0,-2).

設(shè)n=(x,y,z)為平面PBD的法向量,

不妨令y1,可得n=(21,1)為平面PBD的一個(gè)法向量.于是有

所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為.

3) 向量=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,00).

由點(diǎn)F在棱PC上,設(shè)λ,0≤λ≤1.

λ=(1,2,).由BFAC,得0,因此21)+22)=0,解得λ,即.設(shè)n1=(x,yz)為平面FAB的法向量,不妨令z1,可得n1=(0,-3,1)為平面FAB的一個(gè)法向量.取平面ABP的法向量n2=(01,0),則

cosn1,n2〉==-.

易知二面角F AB P是銳角,所以其余弦值為.

方法二:(1)證明:如圖所示,取PD中點(diǎn)M,連接EM,AM.由于E,M分別為PC,PD的中點(diǎn),故EMDC,且EMDC.又由已知,可得EMABEMAB,故四邊形ABEM為平行四邊形,所以BEAM.

因?yàn)?/span>PA⊥底面ABCD,故PA⊥CD,而CD⊥DA,從而CD⊥平面PAD.因?yàn)?/span>AM平面PAD,所以CD⊥AM.BE∥AM,所以BE⊥CD.

2)連接BM,由(1)有CD⊥平面PAD,得CD⊥PD.EM∥CD,故PD⊥EM.又因?yàn)?/span>ADAPMPD的中點(diǎn),所以PD⊥AM,可得PD⊥BE,所以PD⊥平面BEM,故平面BEM⊥平面PBD,所以直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直線BM.BE⊥EM,可得∠EBM為銳角,故∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角.

依題意,有PD2,而MPD中點(diǎn),可得AM,進(jìn)而BE.故在直角三角形BEM中,tanEBM,因此sinEBM,

所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為.

3)如圖所示,在△PAC中,過點(diǎn)FFH∥PAAC于點(diǎn)H.因?yàn)?/span>PA⊥底面ABCD,所以FH⊥底面ABCD,從而FH⊥AC.BF⊥AC,得AC⊥平面FHB,因此AC⊥BH.在底面ABCD內(nèi),可得CH3HA,從而CF3FP.在平面PDC內(nèi),作FG∥DCPD于點(diǎn)G,于是DG3GP.由于DC∥AB,故GF∥AB,所以A,BF,G四點(diǎn)共面.由AB⊥PAAB⊥AD,得AB⊥平面PAD,故AB⊥AG,所以∠PAG為二面角F AB P的平面角.

PAG中,PA2PGPD,APG45°.由余弦定理可得AG,cosPAG,所以二面角F AB P的余弦值為.

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