【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為
,離心率為
,動點
在橢圓
上,
的周長為6.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓
的另一個交點為
,過
分別作直線
的垂線,垂足為
與
軸的交點為
.若四邊形
的面積是
面積的3倍,求直線
斜率的取值范圍.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根據(jù)橢圓的離心率和焦點三角形的周長建立方程求出a,c的值即可;
(2)先設(shè)出直線PQ的方程為x=my+1,聯(lián)立方程組得出根與系數(shù)關(guān)系,利用四邊形PMNQ的面積是△PQT面積的3倍,得出t關(guān)于m的表達式,由t>2建立不等式,解出m的取值范圍,進而根據(jù) 得出k的取值范圍.
(1)因為P是E上的點,且F1,F2為E的左、右焦點,所以|PF1|+|PF2|=2a,
又因為|F1F2|=2c,△PF1F2的周長為6,所以2a+2c=6,
又因為橢圓的離心率為,所以
,解得a=2,c=1.所以
,
E的方程為.
(2)依題意,直線PQ與x軸不重合,故可設(shè)直線PQ的方程為x=my+1,
由,消去x得:(3m2+4)y2+6my-9=0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)則有△>0且.
設(shè)四邊形PMNQ的面積和△PQT面積的分別為S1,S2,
則S1=3S2,又因為,S2=
.
所以,
即3(t-1)=2t-(x1+x2),得t=3-(x1+x2),
又x1=my1+1,x2=my2+1,于是t=3-(my1+my2+2)=1-m(y1+y2),
所以,由t>2得
,解得
,
設(shè)直線PQ的斜率為k,則,所以
,
解得,
所以直線PQ斜率的取值范圍是.
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【題目】如圖,平面四邊形中,
,
是
,
中點,
,
,
,將
沿對角線
折起至
,使平面
,則四面體
中,下列結(jié)論不正確的是( )
A.平面
B.異面直線與
所成的角為
C.異面直線與
所成的角為
D.直線與平面
所成的角為
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【題目】我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載的“芻甍”(chu meng)是指底面為矩形,頂部只有一條棱的五面體.如圖,五面體是一個芻甍,其中
是正三角形,
,則以下兩個結(jié)論:①
;②
,( )
A.①和②都不成立B.①成立,但②不成立
C.①不成立,但②成立D.①和②都成立
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制,5人坐成一排.若小明的父母至少有一人與他相鄰,則不同坐法的總數(shù)為
A. 60 B. 72 C. 84 D. 96
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【題目】已知函數(shù)(
,
)為奇函數(shù),且相鄰兩對稱軸間的距離為
.
(1)當時,求
的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象沿
軸方向向右平移
個單位長度,再把橫坐標縮短到原來的
(縱坐標不變),得到函數(shù)
的圖象.當時
,求函數(shù)
的值域.
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【題目】某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品,如果年返修率不超過千分之一,則其生產(chǎn)部門當年考核優(yōu)秀,現(xiàn)獲得該公司2014-2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年生產(chǎn)臺數(shù) | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
該產(chǎn)品的年利潤 | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
年返修臺數(shù)(臺) | 19 | 58 | 45 | 71 | 70 |
注:
(1)從該公司2014-2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù),求這3年中至少有2年生產(chǎn)部門考核優(yōu)秀的概率.
(2)利用上表中五年的數(shù)據(jù)求出年利潤(百萬元)關(guān)于年生產(chǎn)臺數(shù)
(萬臺)的回歸直線方程是
①.現(xiàn)該公司計劃從2019年開始轉(zhuǎn)型,并決定2019年只生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬臺,且預(yù)計2019年可獲利32(百萬元);但生產(chǎn)部門發(fā)現(xiàn),若用預(yù)計的2019年的數(shù)據(jù)與2014-2018年中考核優(yōu)秀年份的數(shù)據(jù)重新建立回歸方程,只有當重新估算的
,
的值(精確到0.01),相對于①中
,
的值的誤差的絕對值都不超過
時,2019年該產(chǎn)品返修率才可低于千分之一.若生產(chǎn)部門希望2019年考核優(yōu)秀,能否同意2019年只生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬臺?請說明理由.
(參考公式:,
,
,
相對
的誤差為
.)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,設(shè)橢圓
的左焦點為
,短軸的兩個端點分別為
,且
,點
在
上.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓
和圓
分別相切于
,
兩點,當
面積取得最大值時,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點
,
是該橢圓的左、右焦點,
是上頂點,且
是等腰直角三角形.
(1)求的方程;
(2)已知是坐標原點,直線
與橢圓
相交于
兩點,點
在
上且滿足四邊形
是一個平行四邊形,求
的最大值.
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