【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率為,動點在橢圓上,的周長為6

1)求橢圓的方程;

2)設直線與橢圓的另一個交點為,過分別作直線的垂線,垂足為軸的交點為.若四邊形的面積是面積的3倍,求直線斜率的取值范圍.

【答案】1;(2.

【解析】

1)根據(jù)橢圓的離心率和焦點三角形的周長建立方程求出ac的值即可;

2)先設出直線PQ的方程為x=my+1,聯(lián)立方程組得出根與系數(shù)關系,利用四邊形PMNQ的面積是△PQT面積的3倍,得出t關于m的表達式,由t2建立不等式,解出m的取值范圍,進而根據(jù) 得出k的取值范圍.

1)因為PE上的點,且F1,F2E的左、右焦點,所以|PF1|+|PF2|=2a,

又因為|F1F2|=2c,△PF1F2的周長為6,所以2a+2c=6

又因為橢圓的離心率為,所以,解得a=2,c=1.所以

E的方程為

2)依題意,直線PQx軸不重合,故可設直線PQ的方程為x=my+1

,消去x得:(3m2+4y2+6my-9=0,

Px1,y1),Qx2,y2)則有△>0

設四邊形PMNQ的面積和△PQT面積的分別為S1,S2,

S1=3S2,又因為S2=

所以,

3t-1=2t-x1+x2),得t=3-x1+x2),

x1=my1+1x2=my2+1,于是t=3-my1+my2+2=1-my1+y2),

所以,由t2,解得

設直線PQ的斜率為k,則,所以,

解得

所以直線PQ斜率的取值范圍是

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年份

2014

2015

2016

2017

2018

年生產(chǎn)臺數(shù)(萬臺)

2

4

5

6

8

該產(chǎn)品的年利潤(百萬元)

30

40

60

50

70

年返修臺數(shù)(臺)

19

58

45

71

70

注:

(1)從該公司2014-2018年的相關數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù),求這3年中至少有2年生產(chǎn)部門考核優(yōu)秀的概率.

(2)利用上表中五年的數(shù)據(jù)求出年利潤(百萬元)關于年生產(chǎn)臺數(shù)(萬臺)的回歸直線方程是 ①.現(xiàn)該公司計劃從2019年開始轉型,并決定2019年只生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬臺,且預計2019年可獲利32(百萬元);但生產(chǎn)部門發(fā)現(xiàn),若用預計的2019年的數(shù)據(jù)與2014-2018年中考核優(yōu)秀年份的數(shù)據(jù)重新建立回歸方程,只有當重新估算的,的值(精確到0.01),相對于①中的值的誤差的絕對值都不超過時,2019年該產(chǎn)品返修率才可低于千分之一.若生產(chǎn)部門希望2019年考核優(yōu)秀,能否同意2019年只生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬臺?請說明理由.

(參考公式:, ,相對的誤差為.)

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