【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓： 的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點，設是橢圓上關于軸對稱的不同兩點，直線與相交于點，求證：點在橢圓上.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】(1)解：由題意知b＝＝.

因為離心率e＝＝，所以＝＝.所以a＝2.

所以橢圓C的方程為＝1.

(2)證明：由題意可設M，N的坐標分別為(x0，y0)，(－x0，y0)，則直線PM的方程為y＝x＋1，①

直線QN的方程為y＝x＋2.②

(證法1)聯(lián)立①②解得x＝，y＝，即T.

由＝1可得＝8－4.

因為

＝＝1，所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．

(證法2)設T(x，y)．聯(lián)立①②解得x0＝，y0＝.

因為＝1，所以＝1.整理得＝(2y－3)2，所以－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＝1.

所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．

練習冊系列答案
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