Question

【題目】已知橢圓：的離心率，且圓過橢圓的上，下頂點(diǎn).

（1）求橢圓的方程.

（2）若直線的斜率為，且直線交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，判斷直線與的斜率之和是否為定值，如果是，請求出此定值：如果不是，請說明理.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，0.

【解析】

(1)根據(jù)已知條件,求出,即可得到橢圓方程;

(2)設(shè)直線的方程為,將其代入橢圓方程后,根據(jù)韋達(dá)定理以及斜率公式變形,可得答案.

（1）因?yàn)閳A過橢圓的上，下頂點(diǎn)，所以，

又離心率，所以，

于是有，解得，.所以橢圓的方程為；

（2）由于直線的斜率為，可設(shè)直線的方程為，代入橢圓：，

可得.

由于直線交橢圓于、兩點(diǎn)，所以，

整理解得

設(shè)點(diǎn)、，由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱，故點(diǎn)，

于是有，.

若直線與的斜率分別為，，由于點(diǎn)，

則，

又∵，.

于是有

，

故直線與的斜率之和為0，即.