Question

已知橢圓的中心為直角坐標系的原點，焦點在軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1．

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓的動點，為過且垂直于軸的直線上的點，（為橢圓的離心率），求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段．

【解析】

試題分析：（1）橢圓有四個（兩對）頂點，短軸的兩個頂點到焦點的距離相等，這里可見是長軸的兩頂點，于是有，可求得，以及橢圓方程；（2）動點的運動是由點在橢圓上運動引起的，因此要求點的軌跡方程，我們采取動點轉(zhuǎn)移法，借助于點，就是設(shè)點坐標為，動點的坐標為，想辦法用表示，然后把代入點所在的橢圓的方程，即可得動點的軌跡方程，化簡即可。

試題解析：（1）設(shè)橢圓長半軸長及分別為a,c,由已知得

{  解得a=4,c=3,所以橢圓C的方程為

（2Ⅱ）設(shè)M（x,y）,P(x,),其中由已知得

而，故             ①

由點P在橢圓C上得  代入①式并化簡得

所以點M的軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段．

考點：（1）橢圓的標準方程；（2）動點轉(zhuǎn)移法求軌跡方程，軌跡。