Question

設(shè)f（x）是定義在（-π，0）∪（0，π）上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當0＜x＜π時，f′（x）•cosx-sinx•f（x）＞0，則不等式f（x）•cosx＜0的解集為

(-π，-

π

2

)∪(0，

π

2

)

．

Answer 1

分析：根據(jù)[f（x）cosx]′=f'（x）•cosx-sinx•f（x），據(jù)已知條件及導(dǎo)函數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷出f（x）cosx的單調(diào)性，容易得到函數(shù)f（x）cosx的兩個零點，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集．

解答：解：設(shè)g（x）=f（x）cosx，
∵f（x）是定義在（-π，0）∪（0，π）上的奇函數(shù)，
故g（-x）=f（-x）cos（-x）=-f（x）cosx=-g（x），
∴g（x）是定義在（-π，0）∪（0，π）上的奇函數(shù)．
g'（x）=f'（x）cosx-sinxf（x）＞0，
∴g（x）在（0，π）上遞增，
于是奇函數(shù)g（x）在（-π，0）遞增．
∵g（±

π

2

）=0
∴f（x）•cosx＜0的解集為(-π，-

π

2

)∪(0，

π

2

)．
故答案為：(-π，-

π

2

)∪(0，

π

2

)．

點評：求抽象不等式的解集，一般能夠利用已知條件判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體函的不等式解之．