設(shè)實(shí)數(shù)，整數(shù)，.
（1）證明：當(dāng)且時(shí)，；
（2）數(shù)列滿足，，證明：.

（1）證明：當(dāng)且時(shí)，；（2）.

解析試題分析：（1）證明原不等式成立，可以用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，由成立.得出當(dāng)時(shí)，
，綜合以上當(dāng)且時(shí)，對(duì)一切整數(shù)，不等式均成立.（2）可以有兩種方法證明：第一種方法，先用數(shù)學(xué)歸納法證明.其中要利用到當(dāng)時(shí)，.當(dāng)得.由（1）中的結(jié)論得.因此，即.所以時(shí)，不等式也成立.綜合①②可得，對(duì)一切正整數(shù)，不等式均成立.再證由可得，即.第二種方法，構(gòu)造函數(shù)設(shè)，則，并且
.由此可得，在上單調(diào)遞增，因而，當(dāng)時(shí)，.再利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
（1）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)時(shí)，，原不等式成立.
②假設(shè)時(shí)，不等式成立.
當(dāng)時(shí)，
所以時(shí)，原不等式也成立.
綜合①②可得，當(dāng)且時(shí)，對(duì)一切整數(shù)，不等式均成立.
證法1：先用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)時(shí)，由題設(shè)知成立.②假設(shè)時(shí)，不等式成立.
由易知.
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)得.
由（1）中的結(jié)論得.
因此，即.所以時(shí)，不等式

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用數(shù)學(xué)歸納法證明:

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（設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
（1）求，，，的值并寫出其通項(xiàng)公式；
（2）用三段論證明數(shù)列是等比數(shù)列．

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已知非零向量a，b，且a⊥b，求證：≤.

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設(shè)是一個(gè)自然數(shù)，是的各位數(shù)字的平方和，定義數(shù)列：是自然數(shù)，（，）．
（1）求，；
（2）若，求證：；
（3）求證：存在，使得．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在數(shù)列中，已知，，(，)．
（1）當(dāng)，時(shí)，分別求的值，判斷是否為定值，并給出證明；
（2）求出所有的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)以下四個(gè)不等式都是正確的：
；
；
；
．
請(qǐng)你觀察這四個(gè)不等式：
（1）猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論（用字母表示）；
（2）證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn＝＋an(n∈
N＋)，求出a1，a2，a3，a4，猜想{an}的通項(xiàng)公式并給出證明

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

觀察下列不等式

一般地，當(dāng)時(shí)       （用含的式子表示）

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