【題目】已知長為2的線段AB中點為C,當線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上運動時,C點的軌跡為曲線C1;
(1)求曲線C1的方程;
(2)直線 ax+by=1與曲線C1相交于C、D兩點(a,b是實數(shù)),且△COD是直角三角形(O是坐標原點),求點P(a,b)與點(0,1)之間距離的最小值.
【答案】
(1)解:設C點坐標為(x,y),則A點坐標為(2x,0),B點坐標為(0,2y),由|AB|=2,得(2x﹣0)2+(0﹣2y)2=4,
化簡得x2+y2=1,
所以曲線C1的方程x2+y2=1,
(2)解:由曲線C1的方程x2+y2=1可知圓心(0,0),半徑為1,
所以|OC|=|OD|=1,△COD是等腰直角三角形,|CD|= ,
圓心(0,0)到直線 ax+by=1的距離 = ,
即2a2+b2=2,
所以a2=1﹣ b2,(﹣ ≤b≤ )
點P(a,b)與點(0,1)之間距離|OP|= = = = ,
當b= 時,|OP|取到最小值|OP|= = ﹣1.
【解析】(1)設C點坐標為(x,y),根據(jù)中點坐標公式,得到A點坐標為(2x,0),B點坐標為(0,2y),由|AB|=2,即可求出曲線C1的方程,(2)先求出,△COD是等腰直角三角形,|CD|= ,再根據(jù)點到直線的距離公式得到 = ,再由點到點的距離公式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出.
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【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足:a1= ,a1 , a2 , a3﹣ 成等差數(shù)列,公比q∈(0,1)
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=2nan , 求數(shù)列{bn}的前n項和Sn .
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【題目】若能構成映射,下列說法正確的有 ( )
(1)A中的任一元素在B中必須有像且唯一;
(2)A中的多個元素可以在B中有相同的像;
(3)B中的多個元素可以在A中有相同的原像;
(4)像的集合就是集合B.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的極小值;
(Ⅱ)設定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為:,當時,若在內(nèi)恒成立,則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點”.當時,試問函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點”?若存在,求出轉(zhuǎn)點的橫坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點D是AB的中點.
(1)求證:AC1∥平面CDB1
(2)求證:AC⊥BC1
(3)求直線AB1與平面BB1C1C所成的角的正切值.
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【題目】已知向量 ,函數(shù) ,且圖象上一個最高點為與最近的一個最低點的坐標為 .
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)設為常數(shù),判斷方程在區(qū)間上的解的個數(shù);
(Ⅲ)在銳角中,若,求 的取值范圍.
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【題目】(本題滿分16分)第1小題5分,第2小題5分,第3小題6分.
已知函數(shù),其中為常數(shù),且 .
(1) 若是奇函數(shù),求的取值集合;
(2) 當 時,設的反函數(shù)為,且函數(shù)的圖像與的圖像關于對稱,求的取值集合;
(3) 對于問題(1)(2)中的 ,當時,不等式恒成立,求的取值范圍.
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【題目】有兩個袋子,其中甲袋中裝有編號分別為1、2、3、4的4個完全相同的球,乙袋中裝有編號分別為2、4、6的3個完全相同的球.
(Ⅰ)從甲、乙袋子中各取一個球,求兩球編號之和小于8的概率;
(Ⅱ)從甲袋中取2個球,從乙袋中取一個球,求所取出的3個球中含有編號為2的球的概率.
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