Question

如果直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0相交于M、N兩點，且點M、N關于直線x+y=0對稱，動點P（a，b）在不等式組表示的平面區(qū)域的內部及邊界上運動，則
（1）不等式組所確定的平面區(qū)域的面積為1；
（2）使得目標函數z=b-a取得最大值的最優(yōu)解有且僅有一個；
（3）目標函數的取值范圍是[-2，2]；
（4）目標函數p=a²+b²-2b+1的最小值是．
上述說法中正確的是________（寫出所有正確選項）

Answer 1

解：∵M、N兩點，關于直線x+y=0對稱，
∴k=1，又圓心在直線x+y=0上
∴
∴m=-1
∴原不等式組變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54315.png' />作出不等式組表示的平面區(qū)域，
（1）△AOB為不等式所表示的平面區(qū)域，
聯立 解得B（-1，1），A（-2，0），
所以S_△AOB=×|-2|×|-1|=1．
故（1）正確；
（2）作出目標函數z=b-a平行的直線，將其平移
當直線z=b-a過直線x-y+2=0上的任一點時，z最大，
故（2）錯；
（3）如圖
又因為表示點P（a，b）與點（1，2）連線的斜率．
故當過點B（-1，1）時，取最小值-．
當過O（0，0）時，取最大值2．
故答案為：[-，2]．故（3）錯；
（4）p=a²+b²-2b+1=a²+（b-1）²-表示區(qū)域內的點N到點M（0，1）的距離的平方，
由圖得：只有當過M作直線x+y=0的垂線時，M（0，1）到平面區(qū)域內任一點的距離才最�。�
而M與直線x+y=0的距離為：d=．
∴|d|²=．即目標函數p=a²+b²-2b+1的最小值是．
故（4）正確．
故答案為：（1），（4）．
分析：由M與N關于x+y=0對稱得到直線y=kx+1與x+y=0垂直，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1，得到k的值；設出M與N的坐標，然后聯立y=x+1與圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，根據韋達定理得到兩橫坐標之和的關于m的關系式，再根據MN的中點在x+y=0上得到兩橫坐標之和等于-1，列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式組，在數軸上畫出相應的平面區(qū)域，求出面積及相應的目標函數的最值即得．如對于（3），先由條件求出k=1，m=-1，再畫出對應的平面區(qū)域，把看成平面區(qū)域內的點與（1，2）連線的斜率，利用圖形可得結論．
點評：本題是簡單的線性規(guī)劃與直線和直線以及直線與圓的位置關系的一道綜合題，是對知識的綜合考查．利用直線斜率的幾何意義，求可行域中的點與（1，2）的斜率的取值范圍．