Question

（1）我潛艇在海島A南偏西

π

6

，相距海島12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由海島A朝正東方向以10節(jié)的速度航行，我潛艇要用2小時追上敵艦，求我潛艇需要的速度大�。�1節(jié)等于每小時 1海里）；
（2）如果直線y=kx-1與雙曲線x²-y²=1的右支有兩個不同的公共點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設在點C出追上敵艦，設潛艇航速x節(jié)，在三角形ABC中，AB=12，BC=20，AC=2x，∠BAC=

π

6

+

π

2

=

2π

3

，由余弦定理可求
（2）聯(lián)立方程

y=kx-1 x2-y2=1

消去y可得（1-k²）x²+2kx-2=0，結合題意可得此方程有2個不同的正根，結合方程的根的分布可求k的范圍

解答：解：（1）設在點C出追上敵艦，設潛艇航速x節(jié)
在三角形ABC中，AB=12，BC=20，AC=2x，∠BAC=

π

6

+

π

2

=

2π

3

由余弦定理可得，cosABC=

BA2+BC2-AC2

2BA•BC

=

122+202-(2x)2

2•12•20

=-

1

2

可解得x=14                    
（2）聯(lián)立方程

y=kx-1 x2-y2=1

消去y可得（1-k²）x²+2kx-2=0，
則有

1-k2≠0 △＞0 -2k 1-k2 ＞0 -2 1-k2 ＞0

⇒1＜m＜

2

1-k2≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 -2k 1-k2 ＞0 -2 1-k2 ＞0

∴

k2≠1 k2＜2 k k2-1 ＞0 2 k2-1 ＞0

∴

k≠±1 - 2 ＜k＜ 2 k＞0或-1＜k＜0 k＞1或k＜-1

∴1＜k＜

2

點評：本題主要考查了余弦定理在求解實際問題中的應用及直線與雙曲線相交關系的應用，屬于知識的簡單應用．