【題目】記無窮數(shù)列的前n項(xiàng)中最大值為,最小值為,令,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為

(1)若數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,求;

(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,試問數(shù)列是否也一定是等差數(shù)列?若是,請(qǐng)證明;若不是,請(qǐng)舉例說明;

(3)若,求

【答案】(1);(2)見解析;(3),

【解析】

(1)由題意求得,即得,利用等比數(shù)列求和公式可得結(jié)果.

(2)若“數(shù)列{bn}是等差數(shù)列”,設(shè)其公差為d′,bn+1bnd′,根據(jù)定義,Mn+1Mnmn+1mn,至少有一個(gè)取等號(hào),當(dāng)d′>0時(shí),Mn+1Mn,an+1Mn+1Mnan,即數(shù)列{an}為增數(shù)列,則Mnanmna1,進(jìn)而得出.同理可得d′<0時(shí),“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”;當(dāng)d′=0時(shí),Mn+1Mn,且mn+1mn,故{an}為常數(shù)列,是等差數(shù)列.

(3)由題意可得,根據(jù)定義可以分析得到當(dāng)時(shí),,即得;同理可得時(shí),.,

所以當(dāng)時(shí), 得到 可得,求得

;當(dāng)時(shí), 得到,求得,分段寫出結(jié)果即可.

(1)∵數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,∴,∴,

,∴

(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,設(shè)其公差為

根據(jù),的定義,有以下結(jié)論:

,,且兩個(gè)不等式中至少有一個(gè)取等號(hào),

①若,則必有,∴,即對(duì),,都有

,

,即為等差數(shù)列;

②當(dāng)時(shí),則必有,所以,即對(duì),,都有

,

所以,即為等差數(shù)列;

③當(dāng)

,中必有一個(gè)為0,∴根據(jù)上式,一個(gè)為0,則另一個(gè)亦為0,

,∴為常數(shù)數(shù)列,所以為等差數(shù)列,

綜上,數(shù)列也一定是等差數(shù)列.

(3)∵,

∴當(dāng)時(shí),,即,當(dāng)時(shí),,即

以下證明:,

當(dāng)時(shí),

,則,,所以,不合題意;

,則,則,得:,與矛盾,不合題意;

,即;

同理可證:,即時(shí),

①當(dāng)時(shí),,

②當(dāng)時(shí),,且

,則.若,則為常數(shù),與題意不符,∴

,

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列項(xiàng)和為,且.

(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列;

(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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【題目】下列說法正確的是(

A.若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),則

B.命題:“,”,則的否定為“,

C.”是“”的充分不必要條件

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【題目】為了美化環(huán)境,某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪,休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD.其中AB=3百米,AD=百米,且△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.?dāng)M修建兩條小路AC,BD(路的寬度忽略不計(jì)),設(shè)∠BAD=(,)

(1)當(dāng)cos時(shí),求小路AC的長度;

(2)當(dāng)草坪ABCD的面積最大時(shí),求此時(shí)小路BD的長度.

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【題目】如圖,將邊長為2的正方形沿對(duì)角線折疊,使得平面平面,又平面.

(1)若,求直線與直線所成的角;

(2)若二面角的大小為,求的長度.

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【題目】為了豐富學(xué)生的課外文化生活,某中學(xué)積極探索開展課外文體活動(dòng)的新途徑及新形式,取得了良好的效果.為了調(diào)查學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與參加文體活動(dòng)是否有關(guān),學(xué)校對(duì)300名學(xué)生做了問卷調(diào)查,列聯(lián)表如下:

參加文體活動(dòng)

不參加文體活動(dòng)

合計(jì)

學(xué)習(xí)積極性高

180

學(xué)習(xí)積極性不高

60

合計(jì)

300

已知在全部300人中隨機(jī)抽取1人,抽到學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生的概率為.

(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整;

(2)是否有的把握認(rèn)為學(xué)習(xí)積極性高與參加文體活動(dòng)有關(guān)?請(qǐng)說明你的理由;

(3)若從不參加文體活動(dòng)的同學(xué)中按照分層抽樣的方法選取5人,再從所選出的5人中隨機(jī)選取2人,求至少有1人學(xué)習(xí)積極性不高的概率.

附:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

,其中.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、下周二兩天內(nèi)采摘完畢,基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘.由于下雨會(huì)影響藥材品質(zhì),基地收益如下表所示:

周一

無雨

無雨

有雨

有雨

周二

無雨

有雨

無雨

有雨

收益

萬元

萬元

萬元

萬元

若基地額外聘請(qǐng)工人,可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù).無雨時(shí)收益為萬元;有雨時(shí),收益為萬元.額外聘請(qǐng)工人的成本為萬元.

已知下周一和下周二有雨的概率相同,兩天是否下雨互不影響,基地收益為萬元的概率為.

(Ⅰ)若不額外聘請(qǐng)工人,寫出基地收益的分布列及基地的預(yù)期收益;

(Ⅱ)該基地是否應(yīng)該外聘工人,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】北京市政府為做好會(huì)議接待服務(wù)工作,對(duì)可能遭受污染的某海產(chǎn)品在進(jìn)入餐飲區(qū)前必須進(jìn)行兩輪檢測,只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售,否則不能銷售.已知該海產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為,第二輪檢測不合格的概率為,兩輪檢測是否合格相互沒有影響.

1)求該海產(chǎn)品不能銷售的概率.

2)如果該海產(chǎn)品可以銷售,則每件產(chǎn)品可獲利40元;如果該海產(chǎn)品不能銷售,則每件產(chǎn)品虧損80元(即獲利-80元).已知一箱中有該海產(chǎn)品4件,記一箱該海產(chǎn)品獲利元,求的分布列,并求出數(shù)學(xué)期望.

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