【題目】設(shè)函數(shù), = .

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個零點.

(1)求滿足條件的最小正整數(shù)的值;

(2)求證: .

【答案】(Ⅰ)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為

(Ⅱ)(1)3;(2)見解析.

【解析】試題分析:

(Ⅰ)求單調(diào)區(qū)間,只要求得導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍()可解不等式和不等式,從而得單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)(1)求得,由有兩個零點得, 的最小值為,且, 由此可得,由函數(shù)是增函數(shù),通過估值可得最小正整數(shù)的值;(2)證明,設(shè),由,可把表示,不等式中的可替換,然后變形為的不等式,設(shè),則,只要證相應(yīng)地關(guān)于的不等式在上成立,這又可用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)的函數(shù)得出.

試題解析:

(Ⅰ)

當(dāng)時, 上恒成立,所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為,

此時 無單調(diào)減區(qū)間.

當(dāng)時,由,得, ,得,

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

(Ⅱ)(1)

因為函數(shù)有兩個零點,所以,此時函數(shù)單調(diào)遞增, 在單調(diào)遞減.

所以的最小值,即.

因為,所以.

,顯然上為增函數(shù),且

,所以存在.

當(dāng)時, ;當(dāng)時, ,所以滿足條件的最小正整數(shù).

又當(dāng)時, ,所以時, 有兩個零點.

綜上所述,滿足條件的最小正整數(shù)的值為3.

(2)證明 :不妨設(shè),于是

所以.

因為,當(dāng)時, ,當(dāng)時, ,

故只要證即可,即證明

即證,

也就是證.

設(shè)

,則.

因為,所以

當(dāng)且僅當(dāng)時,

所以上是增函數(shù).

,所以當(dāng)總成立,所以原題得證.

練習(xí)冊系列答案
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井號

坐標(biāo)

鉆探深度

出油量

(1)號舊井位置線性分布,借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為,求,并估計的預(yù)報值;

(2)現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井,若通過號并計算出的的值(精確到)與(1)中的值差不超過,則使用位置最接近的已有舊井,否則在新位置打開,請判斷可否使用舊井?

(參考公式和計算結(jié)果:

(3)設(shè)出油量與勘探深度的比值不低于20的勘探井稱為優(yōu)質(zhì)井,那么在原有口井中任意勘探口井,求勘探優(yōu)質(zhì)井?dāng)?shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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【題目】上世紀(jì)八十年代初, 鄧小平同志曾指出“在人才的問題上,要特別強調(diào)一下,必須打破常規(guī)去發(fā)現(xiàn)、選拔和培養(yǎng)杰出的人才”. 據(jù)此,經(jīng)省教育廳批準(zhǔn),某中學(xué)領(lǐng)導(dǎo)審時度勢,果斷作出于1985年開始施行超常實驗班教學(xué)試驗的決定.一時間,學(xué)生興奮,教師欣喜,家長歡呼,社會熱議.該中學(xué)實驗班一路走來,可謂風(fēng)光無限,碩果累累,尤其值得一提的是,1990年,全國共招收150名少年大學(xué)生,該中學(xué)就有19名實驗班學(xué)生被錄取,占全國的十分之一,轟動海內(nèi)外.設(shè)該中學(xué)超常實驗班學(xué)生第x年被錄取少年大學(xué)生的人數(shù)為y.

左下表為該中學(xué)連續(xù)5年實驗班學(xué)生被錄取少年大學(xué)生人數(shù),求y關(guān)于x的線性回歸方程,并估計第6年該中學(xué)超常實驗班學(xué)生被錄取少年大學(xué)生人數(shù);

年份序號x

1

2

3

4

5

錄取人數(shù)y

10

11

14

16

19

附1:

下表是從該校已經(jīng)畢業(yè)的100名高中生錄取少年大學(xué)生人數(shù)與是否接受超常實驗班教育得到

2×2列聯(lián)表,完成上表,并回答:是否有95%以上的把握認(rèn)為“錄取少年大學(xué)生人數(shù)與是否接受超常實驗班教育有關(guān)系”.

附2:

接受超常實驗班教育

未接受超常實驗班教育

合計

錄取少年大學(xué)生

60

80

未錄取少年大學(xué)生

10

合計

30

100

0.50

0.40

0.10

005

0.455

0.708

2.706

3.841

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【題目】若方程所表示的曲線為C,給出下列四個命題:

①若C為橢圓,則1t4t;

②若C為雙曲線,則t4t1;

③曲線C不可能是圓;

④若C表示橢圓,且長軸在x軸上,則1t.

其中正確的命題是________(把所有正確命題的序號都填在橫線上)

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(1)求數(shù)列的通項公式;

(2)若為等差數(shù)列,對任意的,都有.證明:;

(3)若為等比數(shù)列,,,求滿足值.

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