Question

【題目】已知兩個無窮數列和的前項和分別為，，，，對任意的，都有.

（1）求數列的通項公式；

（2）若為等差數列，對任意的，都有.證明：；

（3）若為等比數列，，，求滿足的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）1和2．

【解析】試題分析：

(1)由遞推公式可得數列是以1為首項，2為公差的等差數列．故的通項公式為．

(2)由題意，證得 即可證得結論； 據此可得．

且 ，所以．

故滿足條件的的值為1和2．

試題解析：

解:(1) 由，得，

即，所以．

由，，可知．

所以數列是以1為首項，2為公差的等差數列．

故的通項公式為．

（2）證法一：設數列的公差為，則，

由（1）知，．

因為，所以，即恒成立，

所以 即

又由，得，

所以．

所以，得證．

證法二：設的公差為，假設存在自然數，使得，

則，即，

因為，所以．

所以，

因為，所以存在，當時，恒成立．

這與“對任意的，都有”矛盾！

所以，得證．

（3）由（1）知，．因為為等比數列，且，，

所以是以1為首項，3為公比的等比數列．

所以，．

則，

因為，所以，所以．

而，所以，即（*）．

當時，（*）式成立；

當時，設，

則，

所以．

故滿足條件的的值為1和2．