【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(﹣1,0)的距離與P到定直線x=4的距離之比為.

1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;

2)若軌跡C上的動(dòng)點(diǎn)N到定點(diǎn)Mm,0)(0m2)的距離的最小值為1,求m的值.

3)設(shè)點(diǎn)A、B是軌跡C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線OA、OB與軌跡C的另一交點(diǎn)分別為A1、B1,且直線OA、OB的斜率之積等于,問(wèn)四邊形ABA1B1的面積S是否為定值?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1;(2m=1;(3)是,理由見解析.

【解析】

1)設(shè)Px,y),由兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線距離公式能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;(2)設(shè)Nxy),利用兩點(diǎn)間距離公式能求出m;

3)法一:設(shè)Ax1,y1),Bx2,y2),由,得,由點(diǎn)A、B在橢圓C上,得,由此利用點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的對(duì)稱性,結(jié)合已知條件能求出四邊形ABA1B1的面積為定值

法二:設(shè)Ax1,y1),Bx2,y2),則A1(﹣x1,﹣y1),B1(﹣x2,﹣y2),由,得,點(diǎn)AB在橢圓C上,得.由此利用點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的對(duì)稱性,結(jié)合已知條件能求出四邊形ABA1B1的面積為定值.

1)設(shè)Pxy),

∵動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(﹣1,0)的距離與P到定直線x=4的距離之比為

∴由題意,,化簡(jiǎn)得3x2+4y2=12,

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為;

2)設(shè)Nx,y),則

,﹣2≤x≤2.

①當(dāng)04m≤2,即時(shí),當(dāng)x=4m時(shí),|MN|2取最小值31m2=1

解得,,此時(shí),故舍去.

②當(dāng)4m2,即時(shí),當(dāng)x=2時(shí),|MN|2取最小值m24m+4=1,

解得m=1,或m=3(舍).

綜上,m=1.

3)解法一:設(shè)Ax1,y1),Bx2y2),

則由,得,

∵點(diǎn)A、B在橢圓C上,∴,

,化簡(jiǎn)得.

①當(dāng)x1=x2時(shí),則四邊形ABA1B1為矩形,y2=y1,則,

,得,解得,,

.

②當(dāng)x1x2時(shí),直線AB的方向向量為,

直線AB的方程為

原點(diǎn)O到直線AB的距離為

∴△AOB的面積,

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,四邊形ABA1B1的面積S=4SAOB=2|x1y2x2y1|,

=,∴.

∴四邊形ABA1B1的面積為定值.

解法二:設(shè)Ax1,y1),Bx2,y2),則A1(﹣x1,﹣y1),B1(﹣x2,﹣y2),

,得,

∵點(diǎn)AB在橢圓C上,所以,,

,化簡(jiǎn)得.

直線OA的方程為y1xx1y=0,點(diǎn)B到直線OA的距離,

ABA1的面積,

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,四邊形ABA1B1的面積=2|x1y2x2y1|,

=,∴.

∴四邊形ABA1B1的面積為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知圓,圓,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.

1)求曲線C的方程;

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模擬考試第

考試成績(jī)

1)已知該考生的模擬考試成績(jī)與模擬考試的次數(shù)滿足回歸直線方程,若高考看作第次模擬考試,試估計(jì)該考生的高考數(shù)學(xué)成績(jī);

2)把次模擬考試的成績(jī)單放在五個(gè)相同的信封中,從中隨機(jī)抽取個(gè)信封研究成績(jī),求抽取的個(gè)信封中恰有個(gè)成績(jī)不等于平均值的概率.

參考公式:.

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【題目】為檢查某工廠所生產(chǎn)的8萬(wàn)臺(tái)電風(fēng)扇的質(zhì)量,抽查了其中20臺(tái)的無(wú)故障連續(xù)使用時(shí)限(單位:小時(shí)) 如下:

248 256 232 243 188 268 278 266 289 312

274 296 288 302 295 228 287 217 329 283

分組

頻數(shù)

頻率

頻率/組距

總計(jì)

0.05

1)完成頻率分布表,并作出頻率分布直方圖;

2)估計(jì)8萬(wàn)臺(tái)電風(fēng)扇中有多少臺(tái)無(wú)故障連續(xù)使用時(shí)限不低于280小時(shí);

3)用組中值(同一組中的數(shù)據(jù)在該組區(qū)間的中點(diǎn)值)估計(jì)樣本的平均無(wú)故障連續(xù)使用時(shí)限.

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質(zhì)量指標(biāo)值

6

7

8

9

10

零件個(gè)數(shù)

6

18

60

12

4

使用該機(jī)器制造的一個(gè)零件成本為5元,合格品可以以每個(gè)元的價(jià)格出售給批發(fā)商,準(zhǔn)合格品與廢品無(wú)法岀售.

1)估計(jì)該機(jī)器制造零件的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù);

2)若該單位接到一張訂單,需要該零件2100個(gè),為使此次交易獲利達(dá)到1400元,估計(jì)的最小值;

3)該單位引進(jìn)了一臺(tái)加工設(shè)備,每個(gè)零件花費(fèi)2元可以被加工一次,加工結(jié)果會(huì)等可能出現(xiàn)以下三種情況:①質(zhì)量指標(biāo)值增加1,②質(zhì)量指標(biāo)值不變,③質(zhì)量指標(biāo)值減少1.已知每個(gè)零件最多可被加工一次,且該單位計(jì)劃將所有準(zhǔn)合格品逐一加工,在(2)的條件下,估計(jì)的最小值(精確到0.01 .

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