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【題目】已知圓,圓,動圓P與圓M外切并且與圓N內切,圓心P的軌跡為曲線C.

1)求曲線C的方程;

2)設不經過點的直線l與曲線C相交于A,B兩點,直線QA與直線QB的斜率均存在且斜率之和為-2,證明:直線l過定點.

【答案】1;(2)證明見解析.

【解析】

1)根據動圓P與圓M外切并且與圓N內切,得到,從而得到,得到,從而求出橢圓的標準方程;(2)直線l斜率存在時,設,代入橢圓方程,得到,,表示出直線QA與直線QB的斜率,根據,得到的關系,得到直線所過的定點,再驗證直線l斜率不存在時,也過該定點,從而證明直線過定點.

1)設動圓P的半徑為r

因為動圓P與圓M外切,所以,

因為動圓P與圓N內切,所以,

,

由橢圓定義可知,曲線C是以為左、右焦點,長軸長為8的橢圓,

設橢圓方程為,

,故,

所以曲線C的方程為.

2)①當直線l斜率存在時,設直線,,

聯立,

,

設點,則

,

所以

,

.

,

因為,所以.

,

直線,

所以直線l過定點.

②當直線l斜率不存在時,設直線,且,

則點

,

解得,

所以直線也過定點.

綜上所述,直線l過定點.

練習冊系列答案
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夜晚天氣日落云里走

下雨

未下雨

出現

未出現

參考公式:.

臨界值表:

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C.D.

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男性

女性

總計

現場報名

50

網絡報名

31

總計

50

參考公式及數據:,其中.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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