【題目】如圖,正方體的棱長為1,為的中點,在側(cè)面上,有下列四個命題:
①若,則面積的最小值為;
②平面內(nèi)存在與平行的直線;
③過作平面,使得棱,,在平面的正投影的長度相等,則這樣的平面有4個;
④過作面與面平行,則正方體在面的正投影面積為.
則上述四個命題中,真命題的個數(shù)為( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
①建立空間坐標系,得到點應(yīng)該滿足的條件,再根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法求解即可;對于②,平面,所以也與平面相交.故②錯;對于③過作平面,使得棱,,在平面的正投影的長度相等,因為,且,所以在平面的正投影長度與在平面的正投影長度相等,然后分情況討論即可得到平面的個數(shù);對于④面與面平行,則正方體在面的正投影為正六邊形,且正六邊形的邊長為正三角形外接圓的半徑,故其面積為.
解:對于①,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,如圖1所示;
過作平面,是垂足,過作,交于,連結(jié),
則,,,,,,,
設(shè),則,,
∵,
∴,解得,
∴,,
,
∴,
當時,,①正確;
對于,平面,所以也與平面相交.故②錯;
③過作平面,使得棱,,在平面的正投影的長度相等,因為,且,故在平面的正投影的長度等于在平面的正投影的長度,使得棱,,在平面的正投影的長度相等,即使得使得棱,,面的正投影的長度相等,若棱,,面的同側(cè),則為過且與平面平行的平面,若棱,,中有一條棱和另外兩條棱分別在平面的異側(cè),則這樣的平面有3個,故滿足使得棱,,在平面的正投影的長度相等的平面有4個;③正確.
④過作面與面平行,則正方體在面的正投影為一個正六邊形,其中平面,而分別垂直于正三角形和,所以根據(jù)對稱性,正方體的8個頂點中,在平面內(nèi)的投影點重合與正六邊形的中心,其它六個頂點投影恰是正六邊形的六個頂點,且正六邊形的邊長等于正三角形的外接圓半徑(投影線與正三角形、垂直),所以正六邊形的邊長為,所以投影的面積為.④對.
故選:C.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.在購進機器時,可以一次性額外購買幾次維修服務(wù),每次維修服務(wù)費用200元,另外實際維修一次還需向維修人員支付小費,小費每次50元.在機器使用期間,如果維修次數(shù)超過購機時購買的維修服務(wù)次數(shù),則每維修一次需支付維修服務(wù)費用500元,無需支付小費.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時一次性購買幾次維修服務(wù),為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù),得下面統(tǒng)計表:
維修次數(shù) | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 30 | 30 | 10 |
記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù),y表示1臺機器在維修上所需的費用(單位:元),表示購機的同時購買的維修服務(wù)次數(shù).
(1)若=10,求y與x的函數(shù)解析式;
(2)若要求“維修次數(shù)不大于”的頻率不小于0.8,求n的最小值;
(3)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買10次維修服務(wù),或每臺都購買11次維修服務(wù),分別計算這100臺機器在維修上所需費用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺機器的同時應(yīng)購買10次還是11次維修服務(wù)?
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【題目】下列命題中,正確的共有( )
① 因為直線是無限的,所以平面內(nèi)的一條直線就可以延伸到平面外去;
② 兩個平面有時只相交于一個公共點;
③ 分別在兩個相交平面內(nèi)的兩條直線如果相交,則交點只可能在兩個平面的交線上;
④ 一條直線與三角形的兩邊都相交,則這條直線必在三角形所在的平面內(nèi);
A.0個B.1個C.2個D.3個
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【題目】某口袋內(nèi)裝有一些除顏色不同之外其他均相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個球,摸出紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,若紅球有21個,則黑球有_________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AD=1,PA=AB= ,點E是棱PB的中點.
(1)求異面直線EC與PD所成角的余弦值;
(2)求二面角B-EC-D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在軸,離心率為,短軸長為2.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè),過橢圓左焦點的直線交于,兩點,若對滿足條件的任意直線,不等式恒成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)閱讀以下案例,利用此案例的想法化簡.
案例:考察恒等式左右兩邊的系數(shù).
因為右邊,
所以,右邊的系數(shù)為,
而左邊的系數(shù)為,
所以=.
(2)求證:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年4月,甲乙兩校的學生參加了某考試機構(gòu)舉行的大聯(lián)考,現(xiàn)對這兩校參加考試的學生的數(shù)學成績進行統(tǒng)計分析,數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示,考生的數(shù)學成績服從正態(tài)分布,從甲乙兩校100分及以上的試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法各抽取了20份試卷,并將這40份試卷的得分制作成如圖所示的莖葉圖:
(1)試通過莖葉圖比較這40份試卷的兩校學生數(shù)學成績的中位數(shù);
(2)若把數(shù)學成績不低于135分的記作數(shù)學成績優(yōu)秀,根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),判斷是否有的把握認為數(shù)學成績在100分及以上的學生中數(shù)學成績是否優(yōu)秀與所在學校有關(guān)?
(3)從所有參加此次聯(lián)考的學生中(人數(shù)很多)任意抽取3人,記數(shù)學成績在134分以上的人數(shù)為,求的數(shù)學期望.
附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則,,.
參考公式與臨界值表:,其中.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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