【題目】已知正整數(shù)滿足,.令, , .對任意的,記,其中,表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù),表示集合中元素的個(gè)數(shù).證明:
(1);
(2).
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】
顯然,為奇數(shù),為偶數(shù),其中,為歐拉函數(shù).
由歐拉定理,知對任意的,有
于是,對集合的任意子集有
.①
首先證明:,且均為奇數(shù).
由,知集合在數(shù)軸上關(guān)于點(diǎn)對稱,且、.
將集合中連續(xù)的正整數(shù)稱為一段,則由的對稱性知其可分成奇數(shù)段,每段中均有一個(gè)數(shù)屬于集合,也有一個(gè)數(shù)屬于集合.
則為奇數(shù),且集合與關(guān)于對稱,即.
故.
其次證明:對任意的,存在唯一的,使得.
考慮.
顯然,.
若,則,矛盾.
故模兩兩不同余,其中恰有一個(gè)數(shù)模余1.
又,故集合中其余數(shù)可兩兩配對,每對的積模余1.
從而,.
取,則,且,.
再證明:中的數(shù)可兩兩配對,每對數(shù)的積模余1.即證明:對任意的 ,則.
否則,不妨設(shè),即、,,.
設(shè).則
,這與矛盾.
從而,.
最后,在式①中令得
.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】11個(gè)興趣班,若干學(xué)生參與(可重復(fù)參與),每個(gè)興趣班人數(shù)相同(招滿,人數(shù)未知).已知任意九個(gè)興趣班包括了全體學(xué)生,而任意八個(gè)興趣班沒有包括全體學(xué)生求學(xué)生總?cè)藬?shù)的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】桂林漓江主要景點(diǎn)有象鼻山、伏波山、疊彩山、蘆笛巖、七星巖、九馬畫山,小張一家人隨機(jī)從這6個(gè)景點(diǎn)中選取2個(gè)進(jìn)行游玩,則小張一家人不去七星巖和疊彩山的概率為( ).
A.B.C.D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位:)分別服從正態(tài)分布、,其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示,則下列說法正確的是( )
A.乙類水果的平均質(zhì)量
B.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右
C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小
D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】作一個(gè)平面截正方體得到一個(gè)多邊形(包括三角形)截面,那么截面形狀可能是__________.(填上所有你認(rèn)為正確的選項(xiàng)的序號)
①正三角形;②正方形;③菱形;④非正方形的矩形;⑤正五邊形;⑥正六邊形
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),為三維空間中個(gè)點(diǎn)組成的有限集,其中任意四點(diǎn)不在一個(gè)平面上,將集合中的點(diǎn)染成白色或黑色,使得任意一個(gè)與集合至少交于四個(gè)點(diǎn)的球面具有這樣的性質(zhì):這些交點(diǎn)中恰有一半的點(diǎn)為白色的.證明:集合中所有的點(diǎn)均在一個(gè)球面上,
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求的值;
(2)當(dāng)時(shí),,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為,則使得函數(shù)有零點(diǎn)的概率為( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com