Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）設(shè)曲線與軸正半軸交于點(diǎn)，求曲線在該點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）設(shè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，求證：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）首先求出函數(shù)與軸正半軸交于點(diǎn)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)即可得到即切線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式求切線方程；

（Ⅱ）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不妨設(shè)，則．首先證明：當(dāng)時(shí)，，要證，只要證，即證．又，只要證，即證．令

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而得到，即可得證；

解：（Ⅰ）由，得．∴，即函數(shù)與軸正半軸交于點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>．

∴．，

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（Ⅱ）令得或．

且當(dāng)或時(shí)；當(dāng)時(shí)，．

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．

當(dāng)或時(shí)；當(dāng)時(shí)，．

不妨設(shè)，則．

下面證明：當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，．

易知在上單調(diào)遞增，

∴，即當(dāng)時(shí)，．

由得．

記．

則．

要證，

只要證，即證．

又∵，∴只要證，即證．

∵，即證．

令，則．

當(dāng)時(shí)，．為單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，．為單調(diào)遞增函數(shù)．

∴，∴．

∴．