Question

（2012•東至縣模擬）已知命題p：|x-1|+|x+1|≥3a恒成立，命題q：y=（2a-1）^x為減函數(shù)，若p且q為真命題，則a的取值范圍是

（

1

2

，

2

3

]

．

Answer 1

分析：利用絕對值的幾何意義結(jié)合恒成立的解決方法可求的命題p為真時a的范圍，然后用指數(shù)函數(shù)的知識可以求出命題q為真時a的范圍，進而求交集得出a的取值范圍．

解答：解：∵p且q為真命題，
∴命題p與命題q均為真命題．
當(dāng)命題p為真命題時：
∵|x-1|+|x+1|≥3a恒成立，
∴只須|x-1|+|x+1|的最小值≥3a即可，
而有絕對值的幾何意義得|x-1|+|x+1|≥2，
即|x-1|+|x+1|的最小值為2，
∴應(yīng)有：3a≤2，解得：a≤

2

3

，①．
當(dāng)命題q為真命題時：
∵y=（2a-1）^x為減函數(shù)，
∴應(yīng)有：0＜2a-1＜1，解得：

1

2

＜a＜1，②．
綜上①②得，a的取值范圍為：

1

2

＜a≤

2

3

即：（

1

2

，

2

3

]．
故答案為：（

1

2

，

2

3

]．

點評：本題以恒成立為載體結(jié)合絕對值的幾何意義、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性考查復(fù)合命題的真假判斷，屬于綜合性的題目，要加以訓(xùn)練．