Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，拋物線上存在一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，使是等邊三角形且面積為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若點(diǎn)是圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求此時(shí)圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用等邊三角形可得值，從而得到拋物線的方程；

（2）設(shè)的坐標(biāo)為，易得，所以，結(jié)合最值即可得到圓的方程.

解：（1）如圖所示，

∵等邊的面積為，

設(shè)邊長(zhǎng)為，

∴，∴，∴

∵，∴

所以拋物線的方程是.

（2）法一：設(shè)的坐標(biāo)為，因?yàn)閽佄锞�：的焦點(diǎn)，

，

，

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為把點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程可得.

法二：設(shè)的坐標(biāo)為，因?yàn)閽佄锞�：的焦點(diǎn)，

，

，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

即當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為

把點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程可得.