【題目】四面體ABCD中,AB和CD為對(duì)棱.設(shè)AB=a,CD=b,且異面直線AB與CD間的距離為d,夾角為θ.
(Ⅰ)若θ= ,且棱AB垂直于平面BCD,求四面體ABCD的體積;
(Ⅱ)當(dāng)θ= 時(shí),證明:四面體ABCD的體積為一定值;
(Ⅲ)求四面體ABCD的體積.
【答案】證明:(Ⅰ)如圖5﹣2,由于棱AB⊥平面BCD,過B作CD邊上的高BE,
則AB⊥BE,CD⊥BE,
故BE是異面直線AB與CD的距離,即d=BE.
所以VA﹣BCD= ABS△BCD= a = abd.
(Ⅱ)如圖5﹣3,過A作底面BCD的垂線,垂足為O,連結(jié)BO與CD相交于E.連結(jié)AE,
再過E作AB的垂線,垂足為F.
因?yàn)锳B⊥CD,所以BO⊥CD(三垂線定理的逆定理),
所以CD⊥平面ABE,
因?yàn)镋F平面ABE,
所以CD⊥EF,
又EF⊥AB.
所以EF即為異面直線AB,CD的公垂線.
所以EF=d.注意到CD⊥平面ABE.
所以VA﹣BCD= CDS△ABE= ABEFCD= abd為定值.
(Ⅲ)如圖5﹣4:將四面體ABCD補(bǔ)成一個(gè)平行六面體ABB'D'﹣A'CC'D.
由于AB,CD所成角為θ,
所以∠DCA'=θ,
又異面直線AB與CD間的距離即上、下兩底面AB',A'C'的距離,
所以VABB'D'﹣A'CC'D= absinθ×2d=abdsinθ.
顯然VA﹣BCD= VABB'D'﹣A'CC'D= abdsinθ
【解析】(Ⅰ)根據(jù)異面直線的距離的定義結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.(Ⅱ)找出異面直線AB,CD的公垂線,結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行證明即可.(Ⅲ)根據(jù)錐體的體積公式進(jìn)行求解.
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【題目】(本小題滿分14分)已知橢圓的左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,的面積為.
(I)求橢圓的離心率;
(II)設(shè)點(diǎn)在線段上,,延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn),點(diǎn),在軸上,,且直線與直線間的距離為,四邊形的面積為.
(i)求直線的斜率;
(ii)求橢圓的方程.
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【題目】已知函數(shù)(),且的導(dǎo)數(shù)為.
(Ⅰ)若是定義域內(nèi)的增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】大學(xué)生趙敏利用寒假參加社會(huì)實(shí)踐,對(duì)機(jī)械銷售公司7月份至12月份銷售某種機(jī)械配件的銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查,銷售單價(jià)和銷售量之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示:
月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
銷售單價(jià)(元) | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 | 8 |
銷售量(件) | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 | 14 |
(1)根據(jù)7至11月份的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的回歸直線方程;
(2)若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過0.5元,則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的,試問(1)中所得到的回歸直線方程是否理想?
(3)預(yù)計(jì)在今后的銷售中,銷售量與銷售單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系,若該種機(jī)器配件的成本是2.5元/件,那么該配件的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元才能獲得最大利潤(rùn)?(注:利潤(rùn)=銷售收入-成本).
參考公式:回歸直線方程,其中,參考數(shù)據(jù): .
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【題目】如圖,已知PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直徑,AB=2,C是⊙O上一點(diǎn),且AC=BC,PC與⊙O所在的平面成45°角,E是PC中點(diǎn).F為PB中點(diǎn).
(1)求證:EF∥面ABC;
(2)求證:EF⊥面PAC;
(3)求三棱錐B﹣PAC的體積.
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【題目】若鈍角三角形的三邊長(zhǎng)和面積都是整數(shù),則稱這樣的三角形為“鈍角整數(shù)三角形”,下列選項(xiàng)中能構(gòu)成一個(gè)“鈍角整數(shù)三角形”三邊長(zhǎng)的是( )
A.2,3,4
B.2,4,5
C.5,5,6
D.4,13,15
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 滿足3an﹣2Sn﹣1=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)bn= ,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 求f(n)= (n∈N+)的最大值.
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【題目】某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家.為掌握各類超市的營(yíng)業(yè)情況,現(xiàn)按分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為100的樣本,應(yīng)抽取中型超市( )
A.70家
B.50家
C.20家
D.10家
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