【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線AG，BG相交于點(diǎn)G，且它們的斜率之積為.記點(diǎn)G的軌跡為曲線C.

（1）若射線與曲線C交于點(diǎn)D，且E為曲線C的最高點(diǎn)，證明：.

（2）直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN與y軸分別交于P，Q兩點(diǎn).試問在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）證明見解析； （2）存在定點(diǎn)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)T.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)，求得點(diǎn)的軌跡方程為，聯(lián)立方程組，解答坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式，即可求解.

（2）設(shè)，則，解得,，假設(shè)頂點(diǎn)T，使得PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)T，則，求得，即可得到結(jié)論.

（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?/span>，即，

整理得點(diǎn)的軌跡方程為，

聯(lián)立方程組，解得且，

所以，所以.

（2）設(shè)，則，

所以直線AM的方程為，令，解得,

同理可得,

假設(shè)定點(diǎn)T，使得PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)T，則,即，

又由，可得，所以，

即在x軸上存在定點(diǎn)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)T.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），，為曲線上的一動(dòng)點(diǎn).

（I）求動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)從變動(dòng)到時(shí)，線段所掃過的圖形面積；

（Ⅱ）若直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，是否存在點(diǎn)，使得為線段的中點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)是上的偶函數(shù)，且，若在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上是（ ）

A. 增函數(shù) B. 減函數(shù) C. 先增后減的函數(shù) D. 先減后增的函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求的單調(diào)性和極值；

（Ⅱ）若函數(shù)至少有1個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過點(diǎn)的動(dòng)直線l與y軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)T且垂直于l的直線與直線相交于點(diǎn)M.

（1）求M的軌跡方程；

（2）設(shè)M位于第一象限，以AM為直徑的圓與y軸相交于點(diǎn)N，且，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，過拋物線焦點(diǎn)的直線分別交拋物線和圓于點(diǎn)(自上而下)．

（1）求證：為定值；

（2）若、、成等差數(shù)列，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校高一班的一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如圖．

1求分?jǐn)?shù)在的頻數(shù)及全班人數(shù)；

2求分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)，并計(jì)算頻率分布直方圖中間矩形的高；

3若要從分?jǐn)?shù)在之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況，求在抽取的試卷中，至少有一份分?jǐn)?shù)在之間的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都為2.現(xiàn)從該棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.

（1）求概率的值；

（2）求隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴(yán)重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀發(fā)熱咳嗽氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎嚴(yán)重急性呼吸綜合征腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：

方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次.

方式二：混合檢驗(yàn)，將其中且k≥2)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為k+1.

假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為p(0<p<1).現(xiàn)取其中且k≥2)份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)，方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.

（1）若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式p=f(k).

（2）若p與干擾素計(jì)量相關(guān)，其中2)是不同的正實(shí)數(shù)，滿足x1=1且.

(i)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

(ii)當(dāng)時(shí)采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值.

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