已知a>0,函數(shù)f(x)=-2asin(2x+)+2a+b,當x∈[0,]時,-5≤f(x)≤1.
(1)求常數(shù)a,b的值;
(2)設g(x)=f(x+)且lg[g(x)]>0,求g(x)的單調區(qū)間.
(1)a=2,b=-5
(2)綜上,g(x)的遞增區(qū)間為(kπ,kπ+](k∈Z);遞減區(qū)間為(kπ+,kπ+)(k∈Z).
解:(1)∵x∈[0,],
∴2x+∈[,].
∴sin(2x+)∈[-,1],
又∵a>0,
∴-2asin(2x+)∈[-2a,a].
∴f(x)∈[b,3a+b],
又∵-5≤f(x)≤1,
∴b=-5,3a+b=1,
因此a=2,b=-5.
(2)由(1)得a=2,b=-5,
∴f(x)=-4sin(2x+)-1,
g(x)=f(x+)=-4sin(2x+)-1=4sin(2x+)-1,
又由lg[g(x)]>0,得g(x)>1,
∴4sin(2x+)-1>1,
∴sin(2x+)>
∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,
其中當2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z時,g(x)單調遞增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z,
∴g(x)的單調增區(qū)間為(kπ,kπ+],k∈Z.
又∵當2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z時,g(x)單調遞減,
即kπ+<x<kπ+,k∈Z.
∴g(x)的單調減區(qū)間為(kπ+,kπ+),k∈Z.
綜上,g(x)的遞增區(qū)間為(kπ,kπ+](k∈Z);遞減區(qū)間為(kπ+,kπ+)(k∈Z).
練習冊系列答案
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