【題目】已知函數(shù) (m、n為常數(shù)，e = 2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y = f (x)在點(1，f (1))處的切線方程是．

(Ⅰ)求m、n的值；

(Ⅱ)求f (x)的最大值；

(Ⅲ)設 (其中為f (x)的導函數(shù))，證明：對任意x > 0，都有．

(注： )

【答案】(Ⅰ) n = 2，m = 2 (Ⅱ) (Ⅲ)見解析

【解析】試題分析：（1）由切線方程為得到 ，從中可以解出．（2）函數(shù)的導數(shù)，觀察可以發(fā)現(xiàn)當時， ，所以；當時， ，從而得到函數(shù)的單調(diào)性及其最值．（3）函數(shù)是一個較為復雜的函數(shù)，我們可以把要求證的不等式轉化為求證和，后兩個不等式可以通過構建新函數(shù)來證明．

解析： （Ⅰ）由 ，得，由已知得，解得．又．

（Ⅱ）解：由(Ⅰ)得： ，

當時， ，所以；當時， ，所以，∴當時， ；當時， ， 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是， 時， ．

(Ⅲ)證： ．對任意， 等價于，令 ，則 ，由 得： ，

∴當 時， ， 單調(diào)遞增；

當 時， ， 單調(diào)遞減，

所以的最大值為 ，即 ．設 ，則 ，∴當 時， 單調(diào)遞增， ，故當 時， ，即， ，∴對任意，都有 ．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）在同一半周期內(nèi)的圖象過點， ， ，其中為坐標原點， 為函數(shù)圖象的最高點， 為函數(shù)的圖象與軸的正半軸的交點， 為等腰直角三角形.

（1）求的值；

（2）將繞原點按逆時針方向旋轉角，得到，若點恰好落在曲線（）上（如圖所示），試判斷點是否也落在曲線（）上，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0， 的部分圖象如圖所示．

（I）設x∈（0， ）且f（α）= ，求sin 2a的值；

（II）若x∈[]且g（x）=2λf（x）+cos（4x﹣）的最大值為，求實數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-5 不等式選講

已知函數(shù)f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值為m.

(1)求m；

(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝2m，求ab＋bc的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）試討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個極值點， ，且，求證： ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】(2016·遼寧五校聯(lián)考)某車間加工零件的數(shù)量x與加工時間y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：

零件數(shù)x(個)

10

20

30

加工時間y(分鐘)

21

30

39

現(xiàn)已求得上表數(shù)據(jù)的線性回歸方程＝＋中的值為0.9，則據(jù)此回歸模型可以預測，加工100個零件所需要的加工時間約為(　　)

A. 84分鐘 B. 94分鐘

C. 102分鐘 D. 112分鐘

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，無窮數(shù)列滿足 ,

（Ⅰ）若 ，求， ， ；

（Ⅱ）若 ，且， ， 成等比數(shù)列，求的值；

（Ⅲ）是否存在 ，使得 成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形， ， 平面， ， 是棱上的一個點， ， 為的中點.

（1）證明： 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，側棱平面， 為等腰直角三角形， ，且， 分別是的中點.

(1)若是的中點，求證： 平面；

(2)若是線段上的任意一點，求直線與平面所成角正弦的最大值.

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