如圖，在軸上方有一段曲線弧，其端點、在軸上（但不屬于），對上任一點及點，，滿足：．直線，分別交直線于，兩點．

（Ⅰ）求曲線弧的方程；
（Ⅱ）求的最小值（用表示）；

（I）.（II）.

解析試題分析：（I）由橢圓的定義，曲線是以，為焦點的半橢圓，
利用的關(guān)系，得到的方程為.
要特別注意有限制.
（II）設(shè)并代入橢圓方程得到，根據(jù)，，可以得到直線的方程，進(jìn)一步令可得，的縱坐標(biāo)分別，將用縱坐標(biāo)表出，應(yīng)用“基本不等式”，得到其最小值.
本解答即體現(xiàn)此類問題的一般解法“設(shè)而不求”，又反映數(shù)學(xué)知識的靈活應(yīng)用.
試題解析：（I）由橢圓的定義，曲線是以，為焦點的半橢圓，
. 
∴的方程為.          4分
（注：不寫區(qū)間“”扣1分）
（II）由（I）知，曲線的方程為，設(shè)，
則有，即 ①   
又，，從而直線的方程為
AP：；   BP：         6分
令得，的縱坐標(biāo)分別為
；     .
∴②  將①代入②， 得.        8分
∴.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號．
即的最小值是.        12分
考點：橢圓的定義，直線與橢圓的位置關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓，、是其左右焦點，離心率為，且經(jīng)過點.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若、分別是橢圓長軸的左右端點，為橢圓上動點，設(shè)直線斜率為，且，求直線斜率的取值范圍；
（3）若為橢圓上動點，求的最小值.

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已知拋物線的焦點坐標(biāo)為，過的直線交拋物線于兩點，直線分別與直線：相交于兩點．

(1)求拋物線的方程；
(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值．

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已知橢圓的中心為原點，長軸長為，一條準(zhǔn)線的方程為.
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）射線與橢圓的交點為，過作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于 兩點（兩點異于）．求證：直線的斜率為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線與雙曲線有公共焦點，點是曲線在第一象限的交點，且．
(Ⅰ)求雙曲線的方程；
(Ⅱ)以雙曲線的另一焦點為圓心的圓與直線相切，圓：．過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為，問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，是它的兩個頂點，直線與直線相交于點D，與橢圓相交于兩點.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，過點且不垂直于軸直線與橢圓相交于、兩點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：與正半軸、正半軸的交點分別為，動點是橢圓上任一點，求面積的最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）若在處取得極值，求的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）若且，函數(shù)，若對于，總存在使得，求實數(shù)的取值范圍．

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