Question

【題目】函數(shù)g（x）=f（x）+2x，x∈R為奇函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0時(shí)，f（x）=log3x，求函數(shù)g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：任給x∈R，f（x）=g（x）﹣2xf（﹣x）=g（﹣x）+2x…（2分）

因?yàn)間（x）為奇函數(shù)，所以g（﹣x）=﹣g（x），

所以f（﹣x）=﹣g（x）+2x=﹣f（x），

所以f（x）為奇函數(shù)

（2）解：當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=log3x+2x

當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，所以g（﹣x）=log3（﹣x）﹣2x

因?yàn)?g（x）為奇函數(shù)

所以 g（x）=﹣g（﹣x）=﹣[log3（﹣x）﹣2x]=2x﹣log3（﹣x）

又因?yàn)槠婧瘮?shù)g（0）=0

所以g（x）=

【解析】（1）函數(shù)g（x）=f（x）+2x（x∈R）為奇函數(shù)，g（﹣x）=f（﹣x）﹣2x=﹣g（x）=﹣f（x）﹣2x，可得f（﹣x）=﹣f（x），即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）若x＞0時(shí)，f（x）=log3x，求出x＜0，x=0時(shí)的解析式，即可求函數(shù)g（x）的解析式．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解奇偶性與單調(diào)性的綜合(奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性)．