Question

【題目】選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為，（ 為參數(shù)）.

（Ⅰ）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；

（Ⅱ）曲線交軸于兩點(diǎn)，且點(diǎn)， 為直線上的動(dòng)點(diǎn)，求周長的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ;Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由極直互化公式可得直線的直角坐標(biāo)方程為， 消去參數(shù)

得C得普通方程為

（Ⅱ）求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為M（a，b），由題易知當(dāng)P為MB與直線l的交點(diǎn)時(shí)周長最小.

試題解析：（Ⅰ）由直線的極坐標(biāo)方程，得

即，直線的直角坐標(biāo)方程為，

由曲線C的參數(shù)方程得C得普通方程為

（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲線C表示圓心，半徑的圓，令得

A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為

設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為M（a，b），則有

解得，即點(diǎn)M（1,3

由題易知當(dāng)P為MB與直線l的交點(diǎn)時(shí)周長最小，最小值為。