Question

【題目】已知函數(shù)（， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）.

【解析】試題分析：（1）求出，令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；；（2）由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)在恒成立，再分離參數(shù)得到在恒成立，此時(shí)問(wèn)題變?yōu)榍蠛瘮?shù)在區(qū)間上的最小值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，求出最小值即可得結(jié)果.

試題解析：（1）由得

當(dāng)時(shí)， ，所以在上為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， 時(shí)， ， 時(shí)， ，

所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

（2）當(dāng)時(shí)，

則

若在區(qū)間上為增函數(shù)，則在上恒成立，即在上恒成立.

令， ；則， ；

令，則

當(dāng)時(shí)， ，則在單調(diào)遞增

而，

所以函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，

即時(shí)， ，即； 時(shí)， ，即，

∴， ，有最小值，

把代入上式可得，

又因?yàn)?/span>，所以，

又恒成立，所以，又因?yàn)?/span>為整數(shù)，所以，

所以整數(shù)的最大值為.