【題目】如圖所示,等腰梯形ABCD中,ABCDAD=AB=BC=1,CD=2,ECD中點(diǎn),AEBD交于點(diǎn)O,將△ADE沿AE折起,使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置(P平面ABCE).

(Ⅰ)證明:平面POB⊥平面ABCE;

(Ⅱ)若直線(xiàn)PB與平面ABCE所成的角為,求二面角A-PE-C的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)證明OPAEOBAE,得到AE⊥平面POB,即可證明平面POB⊥平面ABCE

(Ⅱ)以O為原點(diǎn),OEx軸,OBy軸,OPz軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面平面PCE的一個(gè)法向量,平面PAE的一個(gè)法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解二面角APEC的余弦值.

(Ⅰ)證明:在等腰梯形ABCD中,易知△DAE為等邊三角形,所以ODAEOBAE,

即在△PAE中,OPAE,

AE⊥平面POBAE平面ABCE,所以平面POB⊥平面ABCE;

(Ⅱ)在平面POB內(nèi)作PQOB=Q,∴PQ⊥平面ABCE

∴直線(xiàn)PB與平面ABCE夾角為,又∵OP=OB,∴OPOB,O、Q兩點(diǎn)重合,

OP⊥平面ABCE,以O為原點(diǎn),OEx軸,OBy軸,OPz軸,

建立空間直角坐標(biāo)系,由題意得,各點(diǎn)坐標(biāo)為,,

,,

設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為,

,即,設(shè),

y=-1z=1,∴

由題意得平面PAE的一個(gè)法向量,

設(shè)二面角A-P-EC為α,

即二面角A-P-EC為α的余弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某市為了了解民眾對(duì)開(kāi)展創(chuàng)建文明城市工作以來(lái)的滿(mǎn)意度,隨機(jī)調(diào)查了40名群眾,并將他們隨機(jī)分成A,B兩組,每組20人,A組群眾給第一階段的創(chuàng)文工作評(píng)分,B組群眾給第二階段的創(chuàng)文工作評(píng)分,根據(jù)兩組群眾的評(píng)分繪制了如圖莖葉圖:

根據(jù)莖葉圖比較群眾對(duì)兩個(gè)階段創(chuàng)文工作滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值及集中程度不要求計(jì)算出具體值,給出結(jié)論即可;

根據(jù)群眾的評(píng)分將滿(mǎn)意度從低到高分為三個(gè)等級(jí):

滿(mǎn)意度評(píng)分

低于70分

70分到89分

不低于90分

滿(mǎn)意度等級(jí)

不滿(mǎn)意

滿(mǎn)意

非常滿(mǎn)意

由頻率估計(jì)概率,判斷該市開(kāi)展創(chuàng)文工作以來(lái)哪個(gè)階段的民眾滿(mǎn)意率高?說(shuō)明理由.

完成下面的列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為民眾對(duì)兩個(gè)階段創(chuàng)文工作的滿(mǎn)意度存在差異?

低于70分

不低于70分

第一階段

第二階段

附:

k

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在長(zhǎng)方體中,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),點(diǎn) 在棱上,且為實(shí)數(shù)).

(1)求二面角的余弦值;

(2)當(dāng)時(shí),求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的大;

(3)求證:直線(xiàn)與直線(xiàn)不可能垂直.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某公司為了解某產(chǎn)品的獲利情況,將今年17月份的銷(xiāo)售收入(單位:萬(wàn)元)與純利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后,得到如下表格:

月份

1

2

3

4

5

6

7

銷(xiāo)售收入

13

13.5

13.8

14

14.2

14.5

15

純利潤(rùn)

3.2

3.8

4

4.2

4.5

5

5.5

該公司先從這7組數(shù)據(jù)中選取5組數(shù)據(jù)求純利潤(rùn)關(guān)于銷(xiāo)售收入的線(xiàn)性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).假設(shè)選取的是2月至6月的數(shù)據(jù).

1)求純利潤(rùn)關(guān)于銷(xiāo)售收入的線(xiàn)性回歸方程(精確到0.01);

2)若由線(xiàn)性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)0.1萬(wàn)元,則認(rèn)為得到的線(xiàn)性回歸方程是理想的.試問(wèn)該公司所得線(xiàn)性回歸方程是否理想?

參考公式:,;參考數(shù)據(jù):.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上,且,則的面積為________;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)了我國(guó)近10年(2009年2018年)的GDP(GDP是國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算的核心指標(biāo),也是衡量一個(gè)國(guó)家或地區(qū)總體經(jīng)濟(jì)狀況的重要指標(biāo))增速的情況,并繪制了下面的折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖.

根據(jù)該折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖,下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是

A. 這10年中有3年的GDP增速在9.00%以上

B. 從2010年開(kāi)始GDP的增速逐年下滑

C. 這10年GDP仍保持6.5%以上的中高速增長(zhǎng)

D. 2013年—2018年GDP的增速相對(duì)于2009年—2012年,波動(dòng)性較小

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖所示,在五棱錐中,側(cè)面底面,是邊長(zhǎng)為2的正三角形,四邊形為正方形,,且,的重心,是正方形的中心.

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某公司計(jì)劃投資開(kāi)發(fā)一種新能源產(chǎn)品,預(yù)計(jì)能獲得10萬(wàn)元1000萬(wàn)元的收益.現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)開(kāi)發(fā)科研小組的獎(jiǎng)勵(lì)方案:獎(jiǎng)金(單位:萬(wàn)元)隨收益(單位:萬(wàn)元)的增加而增加,且獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)9萬(wàn)元,同時(shí)獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)收益的.

(Ⅰ)若建立獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型,試確定這個(gè)函數(shù)的定義域、值域和的范圍;

(Ⅱ)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型:①;②.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司的要求?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某中學(xué)為了組建一支業(yè)余足球隊(duì),在高一年級(jí)隨機(jī)選取50名男生測(cè)量身高,發(fā)現(xiàn)被測(cè)男生的身高全部在之間,將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成六組:第1,第2,,第6,如圖是按上述分組得到的頻率分布直方圖,以頻率近似概率.

1)若學(xué)校要從中選1名男生擔(dān)任足球隊(duì)長(zhǎng),求被選取的男生恰好在第5組或第6組的概率;

2)試估計(jì)該校高一年級(jí)全體男生身高的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)與中位數(shù);

3)現(xiàn)在從第5與第6組男生中選取兩名同學(xué)擔(dān)任守門(mén)員,求選取的兩人中最多有1名男生來(lái)自第5組的概率.

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同步練習(xí)冊(cè)答案