【題目】如圖所示，在五棱錐中，側(cè)面底面，是邊長為2的正三角形，四邊形為正方形，，且，是的重心，是正方形的中心.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（1）證明線面平行，轉(zhuǎn)化為線線平行．取中點，中點，連接，即可．（2）求二面角的余弦值，以為原點，以方向為軸正方向，以方向為軸正方向，以方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系即可．

（Ⅰ）取中點，中點，連接，，易知，，，四點共線.

由，且，可知為等腰直角三角形，所以.

因為是正方形的中心，所以.

所以，所以.又是的重心，所以.

所以，故.又因為平面，平面.

所以平面.

（Ⅱ）解法一：因為為中點，是正三角形，所以.

因為側(cè)面底面，且交線為，所以底面.所以直線，，兩兩垂直.

如圖，以為原點，以方向為軸正方向，以方向為軸正方向，以方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，.所以，，.

設(shè)平面的法向量為，

則令，則.

設(shè)平面的法向量為，

則，令，則.

所以.

結(jié)合圖可知，二面角的余弦值為.

解法二：取，中點分別為，，連接，，則.

又側(cè)面底面，，側(cè)面底面，所以平面.

又平面，所以，所以.

又，，所以，所以.

所以為二面角的平面角.

易知，所以.因為，，

所以，所以.

即二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，三棱柱的側(cè)面是平行四邊形，，平面平面，且分別是的中點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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根據(jù)折線圖和條形圖，下列結(jié)論錯誤的是（　　）

A. 2012﹣2013 年研發(fā)投入占營收比增量相比 2017﹣2018 年增量大

B. 該企業(yè)連續(xù) 12 年研發(fā)投入逐年增加

C. 2015﹣2016 年研發(fā)投入增值最大

D. 該企業(yè)連續(xù) 12 年研發(fā)投入占營收比逐年增加

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【題目】2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素數(shù)猜想的一個弱化形式。孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述：存在無窮多個素數(shù)p，使得p+2是素數(shù)，素數(shù)對(p，p+2)稱為孿生素數(shù)．在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其中能夠組成孿生素數(shù)的概率是

A. B. C. D.

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【題目】如圖，已知圓錐的頂點為S，底面圓O的兩條直徑分別為AB和CD，且AB⊥CD，若平面平面．現(xiàn)有以下四個結(jié)論：

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②；

③若E是底面圓周上的動點，則△SAE的最大面積等于△SAB的面積；

④與平面SCD所成的角為45°．

其中正確結(jié)論的序號是__________．

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（1）求直線與底面所成的角的大��；

（2）求異面直線與所成的角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

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