Question

已知定義在R上的二次函數(shù)R（x）=ax²+bx+c滿足2 ^R（﹣x）﹣2 ^R（x）=0，且R（x）的最小值為0，函數(shù)h（x）=lnx，又函數(shù)f（x）=h（x）﹣R（x）．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間； 
（II）當(dāng)a≤時(shí)，若x₀∈[1，3]，求f（x₀）的最小值；
（III）若二次函數(shù)R（x）圖象過（4，2）點(diǎn)，對(duì)于給定的函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)A（x₁，y₁），當(dāng)時(shí)，探求函數(shù)f（x）圖象上是否存在點(diǎn)B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：e=2.71828…）

Answer 1

解：（I）∵定義在R上的二次函數(shù)R（x）=ax²+bx+c滿足2 ^R（﹣x）﹣2 ^R（x）=0，
∴2 ^R（﹣x）﹣2 ^R（x）=0，
∴2 ^R（﹣x）=2^R（x），即R（﹣x）=R（x），
∵R（x）=ax²+bx+c，
∴b=0，
∴R（x）=ax²+c．
∵R（x）=ax²+c的最小值為0，
∴a＞0，c=0，故R（x）=ax²，
∵R（x）=ax²，h（x）=lnx，f（x）=h（x）﹣R（x），
∴f（x）=lnx﹣ax²，，
令f'（x）=0，解得．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（，+∞）．
（II）∵當(dāng)0＜a≤時(shí)，≥1，
∴x₀∈[1，3]時(shí)，f（x₀）的最小值為f（1）與f（3）中的較小者．
又f（1）=﹣a，f（3）=1n3﹣9a，f（1）﹣f（3）=﹣a﹣（ln3﹣9a）=8a﹣1n3．
∴當(dāng)0＜a≤時(shí)，f（1）≤f（3），f（x₀）的最小值﹣a；
當(dāng)時(shí)，f（1）＞f（3），f（x₀）的最小值ln3﹣9a．
（III）證明：若二次函數(shù)R（x）=ax²圖象過（4，2）點(diǎn)，則，
所以．
令．
由（I）知f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，
故，即g（2）＞0．
取，則．
所以存在，使g（x₂）=0，
故存在x₂∈（2，+∞），使．
所以函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸．