已知定義在R上的二次函數(shù)R(x)=ax2+bx+c滿足2R(-x)-2R(x)=0,且R(x)的最小值為0,函數(shù)h(x)=lnx,又函數(shù)f(x)=h(x)-R(x).
(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;  
(II)當(dāng)a≤
1
2
時,若x0∈[1,3],求f(x0)的最小值;
(III)若二次函數(shù)R(x)圖象過(4,2)點(diǎn),對于給定的函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)A(x1,y1),當(dāng)x1=
3
2
時,探求函數(shù)f(x)圖象上是否存在點(diǎn)B(x2,y2)(x2>2),使A、B連線平行于x軸,并說明理由.(參考數(shù)據(jù):e=2.71828…)
分析:(I)由2R(-x)-2R(x)=0,知R(-x)=R(x),故R(x)=ax2+c.所以R(x)=ax2.令f′(x)=0,得x=
2a
2a
.由此能求出f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(II)由當(dāng)0<a≤
1
2
時,
2a
2a
≥1,知x0∈[1,3]時,f(x0)的最小值為f(1)與f(3)中的較小者.由此能求出f(x0)的最小值.
(III)若二次函數(shù)R(x)=ax2圖象過(4,2)點(diǎn),則a=
1
8
,所以f(x)=lnx-
1
8
x2
.由此能導(dǎo)出函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)B(x2,y2)(x2>2),使A、B連線平行于x軸.
解答:解:(I)∵定義在R上的二次函數(shù)R(x)=ax2+bx+c滿足2R(-x)-2R(x)=0,
∴2R(-x)-2R(x)=0,
∴2R(-x)=2R(x),即R(-x)=R(x),
∵R(x)=ax2+bx+c,∴b=0,∴R(x)=ax2+c.
∵R(x)=ax2+c的最小值為0,∴a>0,c=0,故R(x)=ax2,
∵R(x)=ax2,h(x)=lnx,f(x)=h(x)-R(x),
∴f(x)=lnx-ax2,f(x)=
1
x
-2ax
,
令f′(x)=0,解得x=
2a
2a

當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:
x (0,
2a
2a
2a
2a
2a
2a
,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) 極大值
所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,
2a
2a
),
f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(
2a
2a
,+∞).
(II)∵當(dāng)0<a≤
1
2
時,
2a
2a
≥1,
∴x0∈[1,3]時,f(x0)的最小值為f(1)與f(3)中的較小者.
又f(1)=-a,f(3)=1n3-9a,
f(1)-f(3)=-a-(ln3-9a)=8a-1n3.
∴當(dāng)0<a≤
ln3
8
時,f(1)≤f(3),f(x0)的最小值-a;
當(dāng)
ln3
8
<a≤ 
1
2
時,f(1)>f(3),f(x0)的最小值ln3-9a.
(III)證明:若二次函數(shù)R(x)=ax2圖象過(4,2)點(diǎn),則a=
1
8
,
所以f(x)=lnx-
1
8
x2

g(x)=f(x)-f(
3
2
)

由(I)知f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,
f(2)>f(
3
2
)
,即g(2)>0.
x′=
3
2
e>2
,則g(x′)=
41-9e2
32
<0

所以存在x2∈(2,x),使g(x2)=0,
故存在x2∈(2,+∞),使f(x2)=f(
3
2
)

所以函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)B(x2,y2)(x2>2),使A、B連線平行于x軸.
點(diǎn)評:本題考查求f(x)的單調(diào)區(qū)間,求f(x0)的最小值,探索函數(shù)f(x)圖象上是否存在點(diǎn)B(x2,y2)(x2>2),使A、B連線平行于x軸,并說明理由.綜合性強(qiáng),難度大,有一定的探索性,對數(shù)學(xué)思維能力要求較高,是高考的重點(diǎn).解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊系列答案
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已知定義在R上的二次函數(shù)R(x)=ax2+bx(a>0)是偶函數(shù),函數(shù)f(x)=2lnx-R(x).
(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;  
(II)當(dāng)a≤1時,若x0∈[1,2],求f(x0)的最大值;
(III)若二次函數(shù)R(x)圖象過(1,1)點(diǎn),對于給定的函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)A(x1,y1),當(dāng)x1=
1e
時,探求函數(shù)f(x)圖象上是否存在點(diǎn)B(x2,y2)(x2>1),使A、B連線平行于x軸,并說明理由.(參考數(shù)據(jù):e=2.71828…)

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.已知定義在R上的二次函數(shù)滿足,且的最小值

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(I)求的單調(diào)區(qū)間;  (II)當(dāng)時,若,求的最小值;

(III)若二次函數(shù)圖象過(4,2)點(diǎn),對于給定的函數(shù)圖象上的點(diǎn)A(),

當(dāng)時,探求函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn))(),使、連線平行于軸,并說明理由。(參考數(shù)據(jù):e=2.71828…)

 

 

 

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已知定義在R上的二次函數(shù)滿足,且的最小值為0,函數(shù),又函數(shù)。

(I)求的單調(diào)區(qū)間;

(II)當(dāng)時,若,求的最小值;

(III)若二次函數(shù)圖象過(4,2)點(diǎn),對于給定的函數(shù)圖象上的點(diǎn)A(),當(dāng)時,探求函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)B()(),使A、B連線平行于x軸,并說明理由。

(參考數(shù)據(jù):e=2.71828…)

 

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