已知定義在R上的二次函數(shù)滿足，且的最小值為0，函數(shù)，又函數(shù)。

（I）求的單調(diào)區(qū)間；

（II）當(dāng)≤時(shí)，若，求的最小值；

（III）若二次函數(shù)圖象過（4，2）點(diǎn)，對(duì)于給定的函數(shù)圖象上的點(diǎn)A（），當(dāng)時(shí)，探求函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)B（）（），使A、B連線平行于x軸，并說明理由。

（參考數(shù)據(jù)：e=2.71828…）

 

【答案】

（I）

可得

又在x=0時(shí)取得最小值0，

 

 

令

當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：

（0，）

（，＋）

＋

0

－

增函數(shù)

極大值

減函數(shù)

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，），的單調(diào)遞減區(qū)間是（，＋）。

（II）≤時(shí)，≥1，

時(shí)，的最小值為與中的較小者.  ……………………7分

又

≤時(shí)，的最小值；

  當(dāng)時(shí)， 的最小值  ……………………9分

（III）證明：若二次函數(shù)圖象過（4，2）點(diǎn)，則，所以

令

由（I）知在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，

故   ……………………11分

取則

所以存在

即存在

所以函數(shù)圖象上存在點(diǎn)B（）（），使A、B連線平行于x軸.

【解析】略

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的二次函數(shù)f（x）=ax2-2bx+3
（1）如果a是集合{1，2，3，4}中的任一元素，b是集合{0，2，3}中的任一元素，試求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增的概率，
（2）如果a是從區(qū)間[1，4]上任取一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，3]上任取一個(gè)數(shù)，試求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的二次函數(shù)R（x）=ax2+bx+c滿足2R（-x）-2R（x）=0，且R（x）的最小值為0，函數(shù)h（x）=lnx，又函數(shù)f（x）=h（x）-R（x）．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；  
（II）當(dāng)a≤
1
2
時(shí)，若x0∈[1，3]，求f（x0）的最小值；
（III）若二次函數(shù)R（x）圖象過（4，2）點(diǎn)，對(duì)于給定的函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)A（x1，y1），當(dāng)x1=
3
2
時(shí)，探求函數(shù)f（x）圖象上是否存在點(diǎn)B（x2，y2）（x2＞2），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：e=2.71828…）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的二次函數(shù)R（x）=ax2+bx（a＞0）是偶函數(shù)，函數(shù)f（x）=2lnx-R（x）．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；  
（II）當(dāng)a≤1時(shí)，若x0∈[1，2]，求f（x0）的最大值；
（III）若二次函數(shù)R（x）圖象過（1，1）點(diǎn)，對(duì)于給定的函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)A（x1，y1），當(dāng)x1=
1e
時(shí)，探求函數(shù)f（x）圖象上是否存在點(diǎn)B（x2，y2）（x2＞1），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：e=2.71828…）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年福建省高三第二次質(zhì)檢理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)卷（二） 題型：解答題

.已知定義在R上的二次函數(shù)滿足，且的最小值

為0，函數(shù)，又函數(shù)。

（I）求的單調(diào)區(qū)間；  （II）當(dāng)≤時(shí)，若，求的最小值；

（III）若二次函數(shù)圖象過（4，2）點(diǎn)，對(duì)于給定的函數(shù)圖象上的點(diǎn)A（），

當(dāng)時(shí)，探求函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)（）（），使、連線平行于軸，并說明理由。（參考數(shù)據(jù)：e=2.71828…）

 

 

 

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